【算法竞赛学习笔记】基础算法篇：递归再探

前言

本文为个人学习的算法学习笔记，学习笔记，学习笔记，不是经验分享与教学，不是经验分享与教学，不是经验分享与教学，若有错误各位大佬轻喷(T^T)。主要使用编程语言为Python3，各类资料题目源于网络，主要自学途径为蓝桥云课，侵权即删。

一、学习目标

1. 理解递归的核心现象（“递” 与 “归” 的双向过程）
2. 掌握递归在数学和计算机科学中的严格定义
3. 熟练运用递归代码的通用模板，具备独立编写 Python 递归代码的能力
4. 明确递归过程中的关键注意事项（避免重复计算、栈溢出等）

二、递归现象：从生活例子理解 “递” 与 “归”

递归的本质是 “先递后归”—— 先将问题逐层拆解为更小的同类问题（递的过程），直到触及可直接解决的最小问题，再将结果逐层回溯合并（归的过程）。

文档中经典生活案例：某计姓家族子孙询问 “18 代祖的名字”，过程如下：

• 递的过程：子孙问父亲→父亲问祖父→祖父问曾祖父→……→直到 18 代祖（最小问题：18 代祖知道自己的名字）
• 归的过程：18 代祖告诉儿子 “我叫你猜”→儿子告诉孙子→……→最终子孙得到答案 “你猜”

通过该案例可直观理解：递归必须包含 “拆解（递）” 和 “回溯（归）” 两个环节，缺一不可。

三、递归的定义

在数学和计算机科学中，递归（Recursion）是指在函数定义中直接或间接调用函数自身的方法，其核心是 “用同类小规模问题的解构建原问题的解”。

1. 数学定义

若一个问题的解可表示为更小规模同类问题的解，且存在最小解（终止条件），则可通过递归定义。示例：函数 \(f(n) = f(n-1) + 1\)（其中 \(f(1) = 1\)）

• 原问题：求 \(f(3)\)
• 拆解（递）：\(f(3) = f(2) + 1\) → \(f(2) = f(1) + 1\)
• 终止（最小解）：\(f(1) = 1\)（无需再拆解）
• 回溯（归）：\(f(2) = 1 + 1 = 2\) → \(f(3) = 2 + 1 = 3\)

2. 计算机科学定义（Python 实现）

在代码中，递归表现为 “函数调用自身”，需满足 “可重复子问题” 和 “递归出口” 两大条件。示例（对应上述数学函数）：

def f(n):# 递归出口（最小子问题的解）if n == 1:return 1# 调用自身（拆解为小规模问题）return f(n - 1) + 1# 测试：计算f(3)
print(f(3))  # 输出：3

四、递归的两大核心要点

递归能正确运行的前提是满足以下两个条件，缺一不可：

1. 可拆解为 “可重复子问题”

原问题的解可拆分为多个子问题的解，且子问题与原问题的求解思路完全一致，仅数据规模不同。

• 关键特征：子问题的 “逻辑结构” 和 “求解步骤” 与原问题相同。
• 示例（计算 n 的阶乘）：
  • 原问题：\(n! = n \times (n-1)!\)
  • 子问题：\((n-1)! = (n-1) \times (n-2)!\)
  • 规律：所有子问题均遵循 “当前数 × 前一个数的阶乘”，仅 “当前数” 的规模不同，符合 “可重复子问题” 要求。

若子问题与原问题思路不同（如 “计算 n! 时突然需要计算 n 的平方”），则无法用递归解决。

2. 必须有 “递归出口”（终止条件）

存在一个 “最小子问题”，其解可直接给出（无需再拆解调用自身），否则会导致函数无限递归，最终引发栈溢出。

• 示例 1：阶乘的递归出口是 \(n=1\) 时返回 1（\(1! = 1\) 是已知结论）。
• 示例 2：斐波那契数列的递归出口是 \(F(0)=0\)、\(F(1)=1\)（最小子问题的解明确）。

反例：若删除阶乘函数的终止条件（if n == 1: return 1），则函数会无限调用 \(f(n-1)\)、\(f(n-2)\)…… 直到栈溢出。

五、递归代码通用模板（Python 优先）

递归代码的结构具有高度规律性，可总结为以下两类模板（根据问题复杂度选择）：

1. 基础模板（适用于简单递归问题）

适用于仅需 “拆解 + 回溯”，无需中间层处理的场景（如阶乘、简单求和），对应文档中的基础模板逻辑。

def recursive_func(parameters):# 1. 递归出口：处理最小子问题，直接返回结果if 终止条件:return 最小子问题的解# 2. 递的过程：调用自身，缩小问题规模（参数需调整）return recursive_func(缩小后的参数)

示例（计算 n 的阶乘）：

def factorial(n):# 递归出口：0!和1!均为1if n in (0, 1):return 1# 拆解为n × (n-1)!return n * factorial(n - 1)# 测试：计算5!
print(factorial(5))  # 输出：120

2. 完整模板（适用于复杂递归问题）

适用于需要 “处理当前层逻辑” 或 “回溯后善后” 的场景（如二叉树遍历、链表反转），对应文档中包含四层结构的模板。

def recursive_complete(level, other_params):# Part 1：递归出口（终止条件，超过最大层级则终止）if level > 最大层级:return 终止时的结果  # 或直接return（无返回值场景）# Part 2：处理当前层逻辑（根据问题需求编写，如修改数据、打印信息）process(level, other_params)# Part 3：递的过程（进入下一层，缩小问题规模，层级+1）recursive_complete(level + 1, other_params)# Part 4：归的过程（回溯后善后，如恢复状态、释放资源，按需编写）# post_process(level, other_params)return 当前层的结果  # 按需返回（无返回值则省略）

示例（二叉树前序遍历）：

# 定义二叉树节点类
class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef pre_order_traversal(node, level=1):# Part 1：递归出口（节点为空，无需处理）if node is None:return# Part 2：当前层逻辑（打印当前节点值和层级）print(f"层级{level}：节点值{node.val}")# Part 3：进入下一层（先遍历左子树，再遍历右子树，层级+1）pre_order_traversal(node.left, level + 1)pre_order_traversal(node.right, level + 1)# 构建测试二叉树：    1
#                  /   \
#                 2     3
root = TreeNode(1, TreeNode(2), TreeNode(3))
# 测试前序遍历
pre_order_traversal(root)
# 输出：
# 层级1：节点值1
# 层级2：节点值2
# 层级2：节点值3

六、模拟演练：实现 “神秘函数” S (x)

1. 问题描述（来自文档）

神秘函数 \(S(x)\) 定义如下：

• 当 \(x = 0\) 时，\(S(0) = 1\)（递归出口）；
• 当 x 为偶数时，\(S(x) = S(x/2)\)（拆解为更小问题）；
• 当 x 为奇数时，\(S(x) = S(x-1) + 1\)（拆解为更小问题）。

输入：正整数 x（\(1 ≤ x ≤ 10^6\)），输出 \(S(x)\) 的值。

2. 样例分析（输入 x=7）

• 递的过程：\(S(7) → S(6)+1 → S(3)+1 → S(2)+1 → S(1)+1 → S(0)+1\)
• 归的过程：\(S(0)=1 → S(1)=1+1=2 → S(2)=2 → S(3)=2+1=3 → S(6)=3 → S(7)=3+1=4\)
• 最终输出：4

3. Python 代码实现

def calculate_mystery_S(x):# 递归出口：x=0时返回1if x == 0:return 1# x为偶数：调用S(x//2)（整数除法，避免浮点数）if x % 2 == 0:return calculate_mystery_S(x // 2)# x为奇数：调用S(x-1) + 1else:return calculate_mystery_S(x - 1) + 1# 测试样例（输入x=7）
x = 7
print(calculate_mystery_S(x))  # 输出：4# 额外测试：x=4（偶数）
print(calculate_mystery_S(4))  # 输出：1（S(4)=S(2)=S(1)=S(0)+1=2？注：需按定义重新计算：S(4)=S(2)=S(1)=S(0)+1=2，实际运行验证）

七、编写递归代码的核心技巧

文档中强调：“明白函数作用并相信它能完成这个任务，千万不要跳进这个函数里面企图探究更多细节，关注当前层的逻辑就好”，这是避免 “人肉递归” 的关键。

1. 技巧核心：“函数作用先行”

编写递归代码时，先明确 “当前函数的核心功能”，然后直接用该功能（调用自身）解决子问题，无需关心子问题内部如何执行。

示例 1：反转链表（基于文档逻辑）

• 函数定义：reverse_linked_list(head)，功能是 “反转以 head 为头节点的链表，并返回反转后的新头节点”。
• Python 实现：

class ListNode:def __init__(self, val=0, next=None):self.val = valself.next = nextdef reverse_linked_list(head):# 递归出口：链表为空或只有一个节点，直接返回（无需反转）if head is None or head.next is None:return head# 子问题：反转head.next之后的链表，相信它能返回新头节点new_headnew_head = reverse_linked_list(head.next)# 当前层逻辑：调整head与head.next的指向（完成当前节点的反转）head.next.next = head  # 让原head的下一个节点指向自己head.next = None       # 断开原指向，避免循环# 返回反转后的新头节点return new_head# 构建测试链表：1 → 2 → 3 → 4 → 5
head = ListNode(1, ListNode(2, ListNode(3, ListNode(4, ListNode(5)))))
# 反转链表
new_head = reverse_linked_list(head)
# 遍历反转后的链表（验证结果）
current = new_head
while current:print(current.val, end=" → ")current = current.next
# 输出：5 → 4 → 3 → 2 → 1 → 

示例 2：快速幂（递归实现）快速幂的功能是 “在 O (log n) 时间内计算 \(a^b\)”，核心是拆解为 “偶数次幂平方、奇数次幂平方再乘 a”，文档中提供了 Python 实现思路。

def quick_pow(a, b):# 递归出口：任何数的0次幂为1if b == 0:return 1# 子问题：计算a^(b//2)，相信它能返回结果resres = quick_pow(a, b // 2)# 当前层逻辑：根据b的奇偶性合并结果if b % 2 == 1:return res * res * a  # 奇数：多乘一次aelse:return res * res      # 偶数：直接平方# 测试：计算2^5（预期32）、3^4（预期81）
print(quick_pow(2, 5))  # 输出：32
print(quick_pow(3, 4))  # 输出：81

八、递归的注意事项（避坑指南）

递归虽简洁，但易出现重复计算和栈溢出两大问题，需针对性解决。

1. 问题 1：重复计算（重叠子问题）

当多个子问题的解被反复计算时，会导致时间复杂度急剧上升（如未优化的斐波那契数列）。

（1）案例：未优化的斐波那契数列

斐波那契定义：\(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\)（\(F(0)=0, F(1)=1\)）调用树（以 F (6) 为例）：\(F(6) = F(5) + F(4)\)，\(F(5) = F(4) + F(3)\)…… 其中 F (4)、F (3)、F (2) 均被多次计算，时间复杂度为 O (2ⁿ)。

（2）解决办法（Python 实现）

• 方法 1：记忆化（缓存中间结果）用列表或字典存储已计算的 F (n)，下次需要时直接读取，避免重复计算。优化后时间复杂度为 O (n)。

  # 用字典缓存中间结果（键：n，值：F(n)）
  fib_cache = {}def fib_memo(n):if n == 0:return 0if n == 1:return 1# 若已计算过，直接返回缓存值if n in fib_cache:return fib_cache[n]# 未计算则递归，并缓存结果fib_cache[n] = fib_memo(n-1) + fib_memo(n-2)return fib_cache[n]# 测试：计算F(10)（预期55）
  print(fib_memo(10))  # 输出：55
  

• 方法 2：改递归为非递归（动态规划思想）用迭代方式从最小子问题（F (0)、F (1)）逐步计算到 F (n)，完全避免递归调用。

  def fib_iterative(n):if n == 0:return 0if n == 1:return 1# 用变量存储前两个结果（F(i-2)和F(i-1)）prev_prev = 0  # F(0)prev = 1       # F(1)for i in range(2, n+1):current = prev_prev + prev  # F(i) = F(i-2) + F(i-1)prev_prev = prev            # 更新F(i-2)为F(i-1)prev = current              # 更新F(i-1)为F(i)return prev# 测试：计算F(10)（预期55）
  print(fib_iterative(10))  # 输出：55
  

2. 问题 2：栈溢出

递归依赖 “函数调用栈” 实现，每次调用函数会在栈中添加一个 “栈帧”。若递归层数过多（如 n=10000），栈会超出最大容量，引发栈溢出错误。

（1）案例：深层递归导致栈溢出

# 当n=1000时，可能引发栈溢出（Python默认递归深度约1000）
def deep_recursion(n):if n == 1:return 1return deep_recursion(n - 1) + 1# 测试：n=1000（可能报错：RecursionError: maximum recursion depth exceeded）
# print(deep_recursion(1000))

（2）解决办法

• 方法 1：手动调整递归深度（谨慎使用）通过sys.setrecursionlimit()扩大递归深度，但不推荐（可能导致内存问题）：

  import sys
  # 调整递归深度为2000（仅临时测试用）
  sys.setrecursionlimit(2000)
  def deep_recursion(n):if n == 1:return 1return deep_recursion(n - 1) + 1
  # 测试：n=1500（大概率可运行）
  print(deep_recursion(1500))  # 输出：1500
  

• 方法 2：改递归为非递归（推荐）用循环模拟递归过程，彻底避免栈溢出。例如将上述 “深层递归求和” 改为迭代：

  def iterative_sum(n):result = 0for i in range(1, n+1):result += 1return result# 测试：n=10000（无栈溢出风险）
  print(iterative_sum(10000))  # 输出：10000
  

3. 拓展：递归的复杂度分析

• 时间复杂度：取决于 “递归调用次数” 和 “每一层的操作复杂度”。例如优化后的斐波那契（记忆化），调用次数 O (n)，每一层操作 O (1)，总时间 O (n)。
• 空间复杂度：取决于 “递归深度” 和 “每一层的空间开销”。例如递归实现的斐波那契，深度 O (n)，每一层无额外空间，总空间 O (n)；非递归实现空间 O (1)。

九、递归的优势

1. 代码结构清晰，可读性强相比复杂的迭代逻辑，递归能直接映射问题的数学定义，代码更简洁。例如斐波那契的递归代码（3 行核心逻辑）vs 迭代代码（循环 + 变量维护），递归更易理解。

2. 培养问题拆解能力递归要求开发者将原问题拆解为同类子问题，强制锻炼 “抽象思维” 和 “分治思想”，为后续学习分治、动态规划等算法奠定基础。

十、递归核心小结（基于文档）

1. 本质：函数调用自身，通过 “递（拆解子问题）” 和 “归（回溯结果）” 解决问题，需包含 “可重复子问题” 和 “递归出口”。
2. 代码模板：基础模板（出口 + 调用自身）、完整模板（出口 + 当前层处理 + 下一层 + 善后），优先用 Python 实现。
3. 编写技巧：明确函数作用，不人肉递归，仅关注当前层逻辑。
4. 避坑重点：用记忆化避免重复计算，用非递归避免栈溢出。
5. 优势：代码简洁、可读性强，助力培养问题拆解能力。