基于deepseek学习三角函数相关
三角函数的各种公式
1. 基本定义
直角坐标系定义
在直角坐标系中，对于一个角 θ（顶点在原点，始边在x轴正半轴），其终边上任意一点 P(x, y) 到原点的距离为 r = √(x² + y²) > 0，则：
正弦 (sin)： sin θ = y / r
余弦 (cos)： cos θ = x / r
正切 (tan)： tan θ = y / x
余切 (cot)： cot θ = x / y
正割 (sec)： sec θ = r / x
余割 (csc)： csc θ = r / y
单位圆定义
当 r = 1 时（即点在单位圆上），定义简化为：
正弦 (sin)： P点的纵坐标 y
余弦 (cos)： P点的横坐标 x
正切 (tan)： 单位圆上过点 (1,0) 的切线（正切轴）上对应点的纵坐标
三角函数线
在单位圆中，可以用有向线段来表示三角函数值：
正弦线： 从点P向x轴作垂线，垂足为M，有向线段 MP 表示 sin θ。
余弦线： 有向线段 OM 表示 cos θ。
正切线： 过点A(1,0)作单位圆的切线，与OP的延长线相交于T，有向线段 AT 表示 tan θ。
2. 基本关系式（恒等式）
倒数关系
sin θ · csc θ = 1
cos θ · sec θ = 1
tan θ · cot θ = 1
商数关系
tan θ = sin θ / cos θ
cot θ = cos θ / sin θ
平方关系（勾股关系）
sin² θ + cos² θ = 1
1 + tan² θ = sec² θ
1 + cot² θ = csc² θ
3. 诱导公式（口诀：“奇变偶不变，符号看象限”）
用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算。
sin(π/2 ± θ) = cos θ
cos(π/2 ± θ) = ∓ sin θ
sin(π ± θ) = ∓ sin θ
cos(π ± θ) = - cos θ
sin(2kπ ± θ) = ± sin θ
cos(2kπ ± θ) = cos θ
sin(-θ) = - sin θ
cos(-θ) = cos θ
tan(-θ) = - tan θ
4. 两角和与差公式
正弦:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
余弦:
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
正切:
tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)
tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)
5. 二倍角公式
正弦: sin 2θ = 2 sin θ cos θ
余弦:
cos 2θ = cos² θ - sin² θ
cos 2θ = 2 cos² θ - 1
cos 2θ = 1 - 2 sin² θ
正切: tan 2θ = 2 tan θ / (1 - tan² θ)
6. 半角公式
正弦: sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)
余弦: cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)
正切:
tan(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/(1 + cos θ))
tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = (1 - cos θ) / sin θ
*（符号由 θ/2 所在象限决定）
7. 和差化积公式
sin α + sin β = 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
sin α - sin β = 2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]
cos α + cos β = 2 cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
cos α - cos β = -2 sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]
8. 积化和差公式
sin α cos β = [sin(α+β) + sin(α-β)] / 2
cos α sin β = [sin(α+β) - sin(α-β)] / 2
cos α cos β = [cos(α+β) + cos(α-β)] / 2
sin α sin β = -[cos(α+β) - cos(α-β)] / 2
9. 万能公式（用 t = tan(θ/2) 表示）
设 t = tan(θ/2)，则：
sin θ = 2t / (1 + t²)
cos θ = (1 - t²) / (1 + t²)
tan θ = 2t / (1 - t²)
这个公式在积分计算中非常有用，可以将三角有理式转化为代数有理式。
10. 其他重要形式
辅助角公式（合一公式）
将 a sin x + b cos x 化为单个正弦或余弦函数。
a sin x + b cos x = R sin(x + φ)
a sin x + b cos x = R cos(x - θ)
其中，R = √(a² + b²) 是振幅，φ 和 θ 是辅助角，满足：sin φ = b / R, cos φ = a / R
tan φ = b / a
正弦定理和余弦定理（解三角形）
正弦定理:
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
*（其中 a, b, c 为三角形三边，A, B, C 为对角，R 为三角形外接圆半径）
余弦定理:
a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = a² + c² - 2ac cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C
欧拉公式（复数域）
e^(iθ) = cos θ + i sin θ
由此可以推导出：cos θ = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2
sin θ = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)
cos² θ-sin² θ=cos 2θ是如何推理的
这个公式可以从余弦的两角和公式直接推导出来。
第一步：写出余弦的两角和公式
余弦的两角和公式为：
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
第二步：令 α = θ, β = θ
将 α 和 β 都设为 θ：
cos(θ + θ) = cos θ · cos θ - sin θ · sin θ
第三步：简化表达式
cos(2θ) = cos²θ - sin²θ
至此，我们已经完成了推导！
2 sin θ cos θ=sin 2θ是如何推导的
这个公式可以从正弦的两角和公式直接推导出来。
第一步：写出正弦的两角和公式
正弦的两角和公式为：
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
第二步：令 α = θ, β = θ
将 α 和 β 都设为 θ：
sin(θ + θ) = sin θ · cos θ + cos θ · sin θ
第三步：简化表达式
sin(2θ) = sin θ cos θ + sin θ cos θ = 2 sin θ cos θ
至此，我们已经完成了推导！
cos² θ-sin² θ=cos 2θ 写出其推导过程
步骤1： 回忆余弦的和角公式：
cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
步骤2： 令 α = θ，β = θ，代入公式：
cos(θ + θ) = cosθ·cosθ - sinθ·sinθ
步骤3： 简化表达式：
cos(2θ) = cos²θ - sin²θ
推导完成！