差分约束系列

快乐建模，快乐 spfa。

你需要更快地找负权，你可能需要更厉害的 spfa。SPFA 这一块。

我的题单。

差分约束

1.P5960【模板】差分约束

题意

解决问题形如：

给出一组包含 $m$ 个不等式，有 $n$ 个未知数的形如：

$$\{\begin{array}{l}{x}_{a_1}-x_{b_1}\le y_1\\ x_{a_2}-x_{b_2}\le y_2\\ \cdots \\ x_{a_m}-x_{b_m}\le y_m\end{array}$$

的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解。

$1\le n,m\le 5000$，$\forall i\in [1,n]$ 满足：$y_i\in [-10^4,10^4]$，$a_i\ne b_i$。

思路

拿出其中一条式子移项：
$$x_a\le x_b+y$$

这就很像最短路上松弛一条边的条件。于是想要用图论建模：我们从 $j\to i$ 连一条权值为 $y$ 的有向边。为了使这个有向图连通，我们新建一个 $0$ 号点，从 $0$ 向所有点连 $n$ 条权值为 $0$ 的边（$x_i\le x_0+0$，对答案没有影响）

我们称这个有向图为差分约束系统。

然后从 $0$ 开始对整个有向图跑一个最短路，$0\to i$ 的最短距离是 $di{s}_i$，{dis}\{dis\}{dis} 是 {x}\{x\}{x} 的一组解。

这个图里面可能会出现环，如果跑出一个负权环 $w_{loop}<0$，设环上的某个点 $u$，那么在差分约束系统中 $x_u\le x_u+w_{loop}$，这显然不成立。因此当这个有向图存在负环，差分约束系统无解。

因为 $y$ 的值域有负数而且要找负环，所以只能用 spfa 找负环。具体地，一条边边权为负，会把最短路引向这条边，那么从某个点开始就会沿着负环一直转圈。

我们要知道什么时候要开始转第二圈了。众所周知，$n+1$ 个点的有向图，每个点的最短路的边数 $\le n$（最劣是把所有点经过一次）。因此维护一个 $cn{t}_i$ 表示 $0\to i$ 最短路经过的边数，当 $\exists cn{t}_i>n$，说明开始转圈，出现负环了。

具体细节见代码：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=6005,inf=0x3f3f3f3f;
ll n,m;
struct edge
{ll to,next,w;
}e[N<<1];
ll idx,head[N];
void addedge(ll u,ll v,ll w)
{idx++;e[idx].to=v;e[idx].next=head[u];e[idx].w=w;head[u]=idx;
}
queue<ll>q;
bool vis[N];
ll dis[N],cnt[N];//最短路包含边数<=n-1 
bool spfa()//找负环，找带负权最短路
{memset(dis,inf,sizeof(dis));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(cnt,0,sizeof(cnt)); dis[0]=0;vis[0]=1;q.push(0);while(!q.empty()){ll u=q.front();q.pop();vis[u]=0;for(int i=head[u];i;i=e[i].next){ll v=e[i].to,w=e[i].w;if(dis[u]+w<dis[v]){dis[v]=dis[u]+w;cnt[v]=cnt[u]+1;if(cnt[v]>n)return 1;//条数>n连接重复点，有个超级源点，出现负环 if(!vis[v]){q.push(v);vis[v]=1;}}}}return 0;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)addedge(0,i,0);for(int i=1;i<=m;i++){ll u,v,w;scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);addedge(v,u,w);}if(spfa()){puts("NO");return 0;}for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",dis[i]);return 0;
}

后面的差分约束题目，都是建模了。