【11408学习记录】考研数学线性代数精讲：矩阵方程求解与秩的深度解析

数学

线性代数

矩阵方程

含有未知矩阵的方程称为矩阵方程。

解矩阵方程，应先根据题设条件和矩阵的运算规则，将方程进行恒等变形，使方程化成 $AX=B,XA=B或AXB=C$ 的形式。

若 $A$ 可逆，或 $A,B$ 均可逆，则分别可得解为：$X=A^{-1}B,X=B{A}^{-1},X=A^{-1}C{B}^{-1}$.

例题

设矩阵 $A$ 的伴随矩阵：
$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& -3& 0& 8\end{array}\right]$$

且 $AB{A}^{-1}=B{A}^{-1}+3E$，其中 $E$ 是4阶单位矩阵，求矩阵 $B$。

分析
$$\begin{array}{rl}AB{A}^{-1}& =B{A}^{-1}+3E\\ AB{A}^{-1}-B{A}^{-1}& =3E\\ (A-E)B{A}^{-1}& =3E\end{array}$$

此时我们就将原式转化为了 $AXB=C$ 的形式，其中，形式中的各部分分别与原式中的如下部分对应：

$A=A-E$
$X=B$
$B=A^{-1}$
$C=3E$

若 $A-E$ 与 $A^{-1}$ 均可逆，则 $B=(A-E{)}^{-1}3E(A^{-1}{)}^{-1}$

这里我们假设$A-E$ 与 $A^{-1}$ 均可逆，我们根据逆矩阵的公式，可以将该式子进一步进行转化：

B=(A−E)−13E(A−1)−1=3{(A−E)A−1}−1=3{AA−1−EA−1}−1=3{E−A−1}−1\begin{align} B \notag &= (A-E)^{-1}3E(A^{-1})^{-1} \\ \notag &= 3\{(A-E)A^{-1}\}^{-1} \\ \notag &= 3\{AA^{-1} - EA^{-1}\}^{-1} \\ \notag &= 3\{E - A^{-1}\}^{-1} \end{align} B​=(A−E)−13E(A−1)−1=3{(A−E)A−1}−1=3{AA−1−EA−1}−1=3{E−A−1}−1​

由题目中给出的伴随矩阵 $A^{\ast }$，我们可以得到公式 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$；

由公式 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$ 可得，$|A{|}^3=|A^{\ast }|$ ，由于 $|A^{\ast }|$ 为左下三角行列式，因此 $|A^{\ast }|=1\times 1\times 1\times 8=8$ ，此时我们就可以求出 $|A|=2$.

因为 $|A|=2\ne 0$ ，因此，原式可以转换为 B=3{E−A∗∣A∣}−1B = 3\{E - \frac{A^*}{|A|}\}^{-1}B=3{E−∣A∣A∗​}−1

将 $|A|=2$ 带入后，我们就可以得到：

B=3{[1000010000100001]−[12000012001201200−3204]}−1=3{[1200001200−1201200320−3]}−1=3{12[10000100−1010030−6]}−1=3×2{[10000100−1010030−6]}−1=6[10000100−1010030−6]−1\begin{align} B \notag &= 3\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} {-} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 & 4 \end{bmatrix} \}^{-1} \\ \notag &= 3\{\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & -3 \end{bmatrix}\}^{-1} \\ \notag &= 3\{\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 &3& 0 & -6 \end{bmatrix}\}^{-1} \\ \notag &= 3 × 2 \{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 &3& 0 & -6 \end{bmatrix} \}^{-1} \\ \notag &= 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 &3& 0 & -6 \end{bmatrix}^{-1} \end{align} B​=3{​1000​0100​0010​0001​​−​21​021​0​021​0−23​​0021​0​0004​​}−1=3{​21​0−21​0​021​023​​0021​0​000−3​​}−1=3{21​​10−10​0103​0010​000−6​​}−1=3×2{​10−10​0103​0010​000−6​​}−1=6​10−10​0103​0010​000−6​​−1​

此时我们只需要利用初等行变换求出矩阵$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& 3& 0& -6\end{array}\right]$ 的逆矩阵即可：

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& ⋮& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& ⋮& 0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0& ⋮& 0& 0& 1& 0\\ 0& 3& 0& -6& ⋮& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{第1行的1倍加到第3行}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& ⋮& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& ⋮& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& ⋮& 1& 0& 1& 0\\ 0& 3& 0& -6& ⋮& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{第2行的-3倍加到第4行}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& ⋮& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& ⋮& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& ⋮& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -6& ⋮& 0& -3& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{-\frac{1}{6}乘第4行}{\to } \\ \left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& ⋮& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& ⋮& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& ⋮& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& ⋮& 0& \frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{6}\end{array}\right] \end{gathered}$$

此时我们就得到了矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& 3& 0& -6\end{array}\right]$ 的逆矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{6}\end{array}\right]$

此时我们再将常数6与改矩阵进行数乘，即可得到矩阵 $B=\left[\begin{array}{cccc}6& 0& 0& 0\\ 0& 6& 0& 0\\ 6& 0& 6& 0\\ 0& 3& 0& -1\end{array}\right]$

等价矩阵和矩阵的等价标准形

设 $A、B$ 均是 $m\times n$ 矩阵，若存在可逆矩阵 $P_{m\times n},Q_{m\times n}$ ，使得 $PAQ=B$ ，则称 $A,B$ 是等价矩阵，记作 $A\cong B$

$A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，则 $A$ 等价于形如 $\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ 的矩阵（$E_r$ 中的 $r$ 恰是 $r(A)$），后者称为 $A$ 的等价标准形，等价标准形是唯一的，即若 $r(A)=r$ ，则存在可逆矩阵 $P,Q$ ，使得：
$$PAQ=\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

矩阵的秩

定义

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，若存在 $k$ 阶子式不为零，而任意 $k+1$ 阶子式（如果有）全为零，则 $r(A)=k$，且若 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，则：
$$r(A{)}_{n\times n}=n\iff |A|\ne 0\iff A可逆$$

求法

将 $A$ 用初等行变化化为行阶梯形矩阵，其非零行数便为 $A$ 的秩

有关秩的几个重要式子

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则：

1. 0≤r(A)≤min{m,n}0 \leq r(A) \leq min\{m, n\}0≤r(A)≤min{m,n}
2. $r(kA)=r(A)(k\ne 0)$
3. r(AB)≤min{r(A),r(B)}r(AB) \leq min\{r(A), r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)}
4. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
5. $r(A^{\ast })=\{\begin{array}{l}n,r(A)=n,\\ 1,r(A)=n-1,\\ 0,r(A)<n-1\end{array}$ 其中 $A$ 为 $n(n\ge 2)$ 阶方阵
6. 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$P,Q$ 分别是 $m$ 阶、$n$ 阶可逆矩阵，则：
   $$r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$$
7. 若 $A_{m\times n}{B}_{m\times n}=0$ ，则 $r(A)+r(B)\le n$
8. $r(A)=r(A^T)=r(A^{T}A)=r(A{A}^T)$

英语

每日一句

But the article is actually quite optimistic, as it outlines a potential solution to this problem, suggesting that an approach (which involves a one-hour, next-to-no-cost program) can close 63 percent of the achievement gap (measured by such factors as grades) between first-generation and other students.(2015, Reading Comprehension, Part A Text 2)

词汇

optimistic: adj. 乐观的
optimism: n. 乐观；乐观主义
optimist: n. 乐观主义者；乐天派
pessimistic: adj. 悲观的，悲观主义的
outline:

• v. 概述，勾勒
• n. 轮廓；大纲，概要

a potential solution to sth. 解决某一问题的可能方案
potential: adj. 潜在的，可能的
next-to-no-cost: 几乎无成本的，接近零成本的

第一步：找谓语

But the article is actually quite optimistic, as it outlines a potential solution to this problem, suggesting that an approach (which involves a one-hour, next-to-no-cost program) can close 63 percent of the achievement gap (measured by such factors as grades) between first-generation and other students.

第二步：断句

原句中存在4处谓语，包含4件事，其谓语分别分布在以下部分：

• is 为主句谓语
• outlines 为 as 引导的原因状语从句谓语
• involves 为 which 引导的定语从句谓语
• can close 为 that 引导的宾语从句谓语

按照标点、引导词以及谓语，可以将句子断开为以下分句：

• But the article is actually quite optimistic, —— 主句
• as it outlines a potential solution to this problem, suggesting —— 原因状语从句
• that an approach …… can close 63 percent of the achievement gap (measured by such factors as grades) between first-generation and other students. —— 宾语从句
• (which involves a one-hour, next-to-no-cost program) —— 定语从句

第三步：简化

主句

But the article is actually quite optimistic

• 主句主语部分：But the article
  • 并列连接词：but 用于连接该句与前一句，构成并列结构，表转折，但是仅分析此句时，可以将其省略
  • 定冠词：the 修饰名词：article
  • 名词：article 为主句主语核心词
• 主句谓语部分：is 为系动词，后接表语
• 主句表语部分：actually quite optimistic
  • 副词：actually 修饰整个主句
  • 副词：quite 修饰形容词：optimistic
  • 形容词：optimistic 为表语核心词

去掉扩展部分，就得到了主句的核心：

• …… article is …… optimistic —— ……论文是……乐观的

原因状语从句

, as it outlines a potential solution to this problem

• 从句引导词：as 引导原因状语从句，修饰主句，说明原因

• 从句主语部分：it 代指主句

• 从句谓语部分：outlines 为及物动词，后接宾语

• 从句宾语部分：a potential solution

  • 不定冠词：a 与形容词：potential 共同修饰名词：solution
  • 名词：solution 为从句宾语核心词

• 介词短语：to this problem 为名词：solution 的后置定语，用于说明 solution 的对象

  • 限定词：this 修饰名词：problem
    去掉从句的扩展部分，就得到了从句核心：

• as it outlines …… solution

宾语从句

, suggesting that an approach …… can close 63 percent of the achievement gap (measured by such factors as grades) between first-generation and other students.

• 非谓语动词：suggesting 修饰原因状语从句，表示伴随
• 从句引导词：that 引导宾语从句，作为非谓语动词：suggesting 的宾语
• 从句主语部分：an approach ……
  • 不定冠词：an 修饰名词：approach
  • 名词：approach 为从句主语核心词
  • 定语从句部分：approach 后由()插入了一句非限制性定语从句，用于解释说明：approach
• 从句谓语部分：can close 为及物动词的情态动词 + 动词原型，后接宾语
• 从句宾语部分：63 percent of the achievement gap (measured by such factors as grades) between first-generation and other students.
  • 数词：63 修饰名词：percent
  • 名词：percent 为从句宾语核心词
  • 介词短语：of the achievement gap (measured by such factors as grades) 为名词：percent 的后置定语，解释说明其范围
    • 定冠词：the 与名词：achievement 共同修饰名词：gap
    • 名词：gap 为介词：of 的宾语
  • 插入语部分：(measured by such factors as grades) 为名词 gap 的后置定语，进一步解释说明：gap
    • 非谓语动词：measured 表被动
    • 介词短语：by such factors as grades 修饰非谓语动词：measured 说明动作的执行者为：factors
      • 介词短语：as grades 为名词：factors 的后置定语，用于例举
  • 介词短语： between first-generation and other students 由并列连词：between …… and …… 构成名词并列结构，作为名词：gap 的后置定语，说明：gap 的范围

去掉从句扩展部分，就得到了从句的核心：

• …… that …… approach …… can close …… percent …… —— …… 方法……能够消除……百分之……

定语从句

(which involves a one-hour, next-to-no-cost program)

• 从句引导词：which 引导非限制性定语从句，用于解释说明名词：approach
  • 引导词：which 在从句中充当主语
• 从句谓语部分：involves 为及物动词，后接宾语
• 从句宾语部分：a one-hour, next-to-no-cost program
  • 不定冠词：a 修饰名词：program
  • 复合名词：one-hour 与复合形容词：next-to-no-cost 修饰名词：program
  • 名词：program 为从句宾语核心词

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• which involves …… program —— 包含……项目的方法