经典算法 统计数字问题(常数时间解决)
统计数字问题
一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如，第6 页用数字6 表示，而不是06 或006 等。数字计数问题要求对给定书的总页码n，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0，1， 2，…，9。
给定表示书的总页码的10 进制整数n (1≤n≤10^9 ) 。编程计算书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2，…，9。
输入示例
11
输出示例
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
输入示例
99999974
输出示例
68888887
79999998
79999998
79999998
79999998
79999997
79999997
79999992
79999987
79999837
c++代码
算法时间复杂度o(1)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void countDigits(int num, vector<int>& digitCount) {
int factor = 1;
while (factor <= num) {
int lower = num - (num / factor) * factor;
int current = (num / factor) % 10;
int higher = num / (factor * 10);
for (int i = 0; i < 10; ++i) {
digitCount[i] += higher * factor;
if (i < current) digitCount[i] += factor;
else if (i == current) digitCount[i] += lower + 1;
}
digitCount[0] -= factor;
factor *= 10;
}
}
int main() {
int n;
cout << "请输入书的总页码 n: ";
cin >> n;
vector<int> digitCount(10, 0);
countDigits(n, digitCount);
for (int i = 0; i < 10; ++i) {
cout << digitCount[i] << endl;
}
return 0;
}//by wqs
题目解析
这个题目的暴力方法很容易想到，从0开始遍历一直到n，然后不断余10除10得到各位上的数字(这个操作常数时间可以解决)，
所以时间复杂度o(n)，可惜1≤n≤10^9,当n = 10^9会超时。
我的办法可以在常数时间内解决这个问题。
算法讲解
vector<int> digitCount(10, 0);//记录答案
我的办法就是一位数一位数的来，统计个位数出现多少次，然后统计十位数出现多少次，然后统计百位数出现多少次。
把他们加起来就是最终答案，那么怎么求呢。
int factor = 1;
while (factor <= num) {
//...
factor *= 10;
}
举两个例子
从0-135687、从0-175687789
例如求0-135687千位数上每个数字出现的次数(也就是n = 135687)
再来一个验证用例例如求0-175687789千万位数上每个数字出现的次数(也就是n = 175687789)
我会分三部分计算，对于任意一个数都可以分成三部分
cur、low、high、factor
n = 135687，求千位数
cur指当前千位数上的数也就是5
low指cur后面的数也就是687
high指cur前面的数也就是13
factor指当前的位数也就是1000
n = 175687789，求千万位数
cur指当前千万位数上的数也就是7
low指cur后面的数也就是5687789
high指cur前面的数也就是1
factor指当前的位数也就是10000000
int lower = num - (num / factor) * factor;
int current = (num / factor) % 10;
int higher = num / (factor * 10);
第一部分 从000000-129999、从000000000-099999999
为了方便计算我们引入前导0，当然根据题目要求我们最后要减去前导0。例如2表示为000002，0表示为000000，长度和n的长度一样。
先求从000000-129999千位数上每个数字出现的次数
000000
000001
…省略1000行左右,千位上0已经出现了1000次
001000
001001
…省略1000行左右,千位上1已经出现了1000次
002000
…省略8000行左右,这个时候0-9都已经出现了1 * 1000次
009999
…省略10000行左右这个时候0-9都已经出现了2 * 1000次
019999
…
129999
这个时候0-9都已经出现了13 * 1000次
事实上，这个值就是higher * factor.
从000000-129999千位数上每个数字出现的次数 = higher * factor
再比如辅助例子里面000000000-099999999千万位数上每个数字出现的次数 = higher * factor = 1 * 10000000
这说明0-9都有一部分是 higher * factor
for (int i = 0; i < 10; ++i) {
digitCount[i] += higher * factor;
}
第二部分 从130000-134999，从100000000-169999999
现在求从130000-134999千位数上每个数字出现的次数
130000
130001
…0已经出现了1000次
130999
131000
131001
…1已经出现了1000次
131999
…
134999
从0-4已经出现了1000次
这个值就是factor.
从130000-134999千位数上0-current - 1数字出现的次数 += factor.
for (int i = 0; i < 10; ++i) {
if (i < current) digitCount[i] += factor;
}
第三部分 从135000到135687，从170000000-175687789
现在求从135000-135687千位数上每个数字出现的次数
135000
135001
.
.
.
135687
5出现的次数就是行数
一共688行也就是low + 1
for (int i = 0; i < 10; ++i) {
if (i == current) digitCount[i] += lower + 1;
}
去除前导0
000000
000001
…省略大概1000行
000999
001000
前导0的个数就是factor的大小
digitCount[0] -= factor;