【数据结构+算法】迭代深度搜索（IDS）及其时间复杂度和空间复杂度

一、定义

1.迭代深度搜索（IDS）的定义

迭代深度搜索（Iterative Deepening Search, IDS）是一种结合了深度优先搜索（Depth First Search, DFS）和广度优先搜索（Breadth First Search, BFS）优点的搜索策略。它通过逐步增加搜索深度的限制，重复执行DFS，直到找到目标解或达到最大深度。这种方法的优势在于既能节省内存（类似DFS），又能确保找到最短路径（类似BFS）。

2.核心原理

迭代深度搜索从深度限制为1（比如设maxdep=1）开始，执行一次完整的DFS。若未找到目标，将深度限制加1（maxdep++），重新执行DFS。每次迭代都会探索更深的层级，直到目标被发现或资源耗尽。这种方式避免了BFS的高内存消耗，同时解决了DFS可能陷入无限分支的问题。

二、分析

1.时间复杂度

假设最大深度为 $d$，分支因子为 $b$（即每个节点的子节点数），则时间复杂度可分为以下部分：

1. 深度限制为 $k$ 时的搜索
   每次深度限制为 $k$ 时，DFS 的时间复杂度为 $O(b^k)$，因为（该深度限制）最多访问 $b^k$ 个节点。

2. 总时间复杂度
   IDS 会重复执行深度限制为 $1,2,\dots ,d$ 的 DFS，因此总时间为：
   $$O(b^1)+O(b^2)+\cdots +O(b^d)$$
   这是一个等比数列求和，主导项为最后一层 $O(b^d)$，因此最终时间复杂度为：
   $$O(b^d)$$

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2.空间复杂度

迭代深度搜索的空间复杂度与深度优先搜索一致，因为每次仅存储当前路径的节点：

1. 栈空间占用
   每次 DFS 最多存储从根节点到目标节点的路径，路径长度不超过深度限制 $d$，因此空间复杂度为 $O(d)$。

2. 无额外存储
   IDS 不需要像 BFS 那样存储所有已访问节点，仅需维护当前路径的栈。

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关键点总结

• 时间：与 BFS 相同（$O(b^d)$），但常数因子较高（因重复搜索浅层节点）。
• 空间：与 DFS 相同（$O(d)$），远优于 BFS 的 $O(b^d)$。
• 优势：在空间受限时，IDS 是 BFS 的替代方案，保证最优解（针对无权图）。

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伪代码及注释

def IDS(root, target):depth = 0while True: #循环调用DLSfound = DLS(root, target, depth)if found is not None: #目标节点一旦找到赶紧返回return found depth += 1 #每次迭代深度+1实现广度优先的深度扩展def DLS(node, target, depth):if depth == 0 and node == target: #当达到指定深度且节点匹配时返回目标return nodeif depth > 0:for child in node.children:found = DLS(child, target, depth - 1)#在深度允许范围内递归搜索子节点if found is not None:return foundreturn None

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关于时间复杂度和空间复杂度（整理自baike.baidu.com）

算法的复杂性体运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度。

为了计算时间复杂度，通常会估计算法的操作单元数量，每个单元运行的时间都是相同的。相同大小的不同输入值仍可能造成算法的运行时间不同，因此我们通常使用算法的最坏情况复杂度，记为T(n)，定义为任何大小的输入n所需的最大运行时间。

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n）/f (n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)。

空间复杂度是衡量算法在运行过程中所需内存空间的大小，通常用 S(n) 表示。它反映了算法在处理数据时占用内存的增长趋势，常见的空间复杂度有：
• O(1)：表示使用的空间是常量，不随输入规模变化。
• O(n)：表示使用的空间与输入规模成线性关系。
• O(n²)：表示使用的空间与输入规模的平方成正比。
空间复杂度的计算包括输入空间、暂存空间和输出空间等。

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三、算法步骤

1. 初始化深度限制：设置初始深度限制 d = 1。
2. 执行深度受限DFS：在深度限制 d 内进行DFS，若找到目标则终止。
3. 递增深度：若未找到目标，将 d 增加1，重复步骤2。

伪代码示例：

def iterative_deepening_search(start, goal):depth = 1while True:#外层循环通过逐步增加深度限制(depth)进行迭代result = depth_limited_search(start, goal, depth)#内层调用深度受限搜索(DLS)执行实际搜索if result != "Not Found":return resultdepth += 1

适用场景

• 路径搜索问题：如迷宫求解、棋类游戏走法计算。
• 资源受限环境：内存有限但需保证最优解的场景。
• 无限状态空间：避免DFS陷入无限分支。

优缺点对比

优点：

• 内存效率高，仅需存储当前路径（类似DFS）。
• 保证找到最短路径（类似BFS）。

缺点：

• 重复搜索浅层节点，可能增加时间开销。
• 不适用于已知目标较深的场景。

通过结合DFS和BFS的特性，迭代深度搜索在实践中有广泛的应用价值。