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欧拉路径与欧拉回路

news 2025/9/30 9:23:07

欧拉路径（Eulerian Path）和欧拉回路（Eulerian Circuit）是图论中的经典问题。它们的提出可以追溯到 1736 年的著名数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。在研究柯尼斯堡七座桥的通过问题时，欧拉发现了图的两种特殊的遍历路径：

欧拉回路：一条遍历图中每条边恰好一次的闭合路径，起点和终点相同。
欧拉路径：一条遍历图中每条边恰好一次，但不要求回到起点的路径。

欧拉路径的必要条件

根据欧拉的定理，图存在欧拉路径的条件如下：

如果一个图是连通的（即从任何一个顶点出发，都可以到达任何其他顶点），并且图中恰好有两个顶点的度数为奇数，那么这个图存在欧拉路径。
如果图中所有顶点的度数都为偶数，那么这个图不仅有欧拉路径，还有欧拉回路。

欧拉路径的 C++ 实现

要检查一个无向图是否有欧拉路径并找到这条路径，可以使用**深度优先搜索（DFS）**或者其他图遍历算法。以下是一个简单的 C++ 实现，检查图是否有欧拉路径并输出路径。

C++ 实现代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>
#include <algorithm>using namespace std;// 图的邻接表表示
class Graph {
public:int V;  // 顶点数vector<vector<int>> adj;  // 邻接表// 构造函数Graph(int V) {this->V = V;adj.resize(V);}// 添加边void addEdge(int u, int v) {adj[u].push_back(v);adj[v].push_back(u);}// 检查是否有欧拉路径bool hasEulerianPath() {int oddDegreeCount = 0;// 计算每个顶点的度数for (int i = 0; i < V; i++) {if (adj[i].size() % 2 != 0) {oddDegreeCount++;}}// 欧拉路径的条件：奇数度的顶点数为0或2return (oddDegreeCount == 0 || oddDegreeCount == 2);}// 深度优先搜索遍历图void dfs(int v, vector<bool>& visited) {visited[v] = true;for (int u : adj[v]) {if (!visited[u]) {dfs(u, visited);}}}// 检查图是否是连通的bool isConnected() {vector<bool> visited(V, false);// 找到一个有边的节点，开始 DFSint startNode = -1;for (int i = 0; i < V; i++) {if (!adj[i].empty()) {startNode = i;break;}}if (startNode == -1) {return true;  // 如果图没有边，视为连通}dfs(startNode, visited);// 检查所有有边的节点是否都被访问过for (int i = 0; i < V; i++) {if (!adj[i].empty() && !visited[i]) {return false;}}return true;}// 找到并打印欧拉路径void findEulerianPath() {if (!isConnected()) {cout << "图不连通，不能找到欧拉路径。" << endl;return;}if (!hasEulerianPath()) {cout << "图没有欧拉路径。" << endl;return;}// 找到起始节点：度数为奇数的节点或任意节点int start = 0;for (int i = 0; i < V; i++) {if (adj[i].size() % 2 != 0) {start = i;break;}}stack<int> pathStack;vector<int> path;pathStack.push(start);// 使用栈模拟遍历欧拉路径while (!pathStack.empty()) {int u = pathStack.top();if (adj[u].empty()) {path.push_back(u);pathStack.pop();} else {int v = adj[u].back();adj[u].pop_back();// 移除边adj[v].erase(find(adj[v].begin(), adj[v].end(), u));pathStack.push(v);}}cout << "欧拉路径为：";for (int i = 0; i < path.size(); i++) {cout << path[i] << " ";}cout << endl;}
};int main() {Graph g(5);g.addEdge(0, 1);g.addEdge(1, 2);g.addEdge(2, 3);g.addEdge(3, 4);g.addEdge(4, 0);// 查找欧拉路径g.findEulerianPath();return 0;
}