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最小生成树

最小生成树：在无向图中求一棵树（n-1条边，无环，连通所有点），而且这棵树的边权和最小
（ps：可能结果不止一种）

Prim

算法思路
Prim算法从一个顶点开始，每次选择与顶点权重最小的边。（“点”为核心，适合稠密图，因为稠密图“边”多）

附带Prim模拟流程图，实际有两个解，具体可看文章最后，但两个解顶点权重总和相同，因此求出一种结果即可，保证实际应用绝对正确，大家也可学习作者是如何进行模拟，期待能够帮助你
（ps：最小生成树模拟量过于庞大，模拟了整整四页，有部分涂改，请见谅，但可保证改正后的一定正确，因此读者可主要看prim算法，另一个算法写的过于繁杂）
看在作者完整模拟的份上，可以求个赞、收藏与关注（比心）

代码

import java.util.Arrays;public class PrimMST {// 定义无穷大常量（用MAX_VALUE的一半防止加法溢出）private static final int INF = Integer.MAX_VALUE / 2;public static int prim(int[][] graph) {int n = graph.length;        // 图的顶点数量int[] dist = new int[n];     // 存储各顶点到最小生成树（MST）的最小距离boolean[] visited = new boolean[n]; // 标记顶点是否已加入MSTArrays.fill(dist, INF);      // 初始化所有距离为无穷大dist[0] = 0;                 // 从顶点0开始，到自身的距离为0int totalWeight = 0;         // MST的总权重// 需要选择n个顶点加入MSTfor (int i = 0; i < n; i++) {// 步骤1：找到未访问顶点中距离MST最近的顶点u，若找到，则添加进最小生成树（如i=4时，只剩V2与V5未访问过，并且此时dist = [0, 5, 1, 4, ,6 , 2]，dist[1](V2)到最小生成树的距离为5，dist[4](V5)到最小生成树的距离为6，因此最近的顶点为V2，并添加进最小生成树中）int u = -1; // 初始化为-1表示未找到for (int j = 0; j < n; j++) {// 如果顶点j未访问，且(u未改变 或 j的距离更小)if (!visited[j] && (u == -1 || dist[j] < dist[u])) {u = j; // 更新最近顶点}}// 如果最近顶点的距离仍是INF，说明图不连通if (dist[u] == INF) return -1;visited[u] = true;       // 标记u已加入MSTtotalWeight += dist[u];  // 累加边权重// 步骤2：更新u的邻接顶点到MST的最短距离（如从顶点V1开始时，到顶点V2的距离是6，但i=1的遍历中，找到最近顶点为V3时，此时最小生成树（V1与V3）到V2的最短距离更新为了5）for (int v = 0; v < n; v++) {// 如果v未访问，且u-v有边，且该边比当前记录的距离更小if (!visited[v] && graph[u][v] != INF && graph[u][v] < dist[v]) {dist[v] = graph[u][v]; // 更新距离}}}return totalWeight;}public static void main(String[] args) {// 定义图的邻接矩阵（6个顶点）int[][] graph = {// 0  1  2  3    4    5{0, 6, 1, 5, INF, INF},    // 顶点0的边{6, 0, 5, INF, 3, INF},    // 顶点1的边{1, 5, 0, 4, 6, 4},        // 顶点2的边{5, INF, 4, 0, INF, 2},    // 顶点3的边{INF, 3, 6, INF, 0, 6},    // 顶点4的边{INF, INF, 4, 2, 6, 0}     // 顶点5的边};System.out.println("Prim MST Weight: " + prim(graph));}
}

模拟流程图

kruskal

加边之前，考虑“加边”的两个端点是不是已经连通，若已连通，则不加（“边”为核心，适合稀疏图）

代码

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;public class KruskalMST {// 定义边类（起点、终点、权重）static class Edge {int src, dest, weight;public Edge(int src, int dest, int weight) {this.src = src;    // 起点this.dest = dest;  // 终点this.weight = weight; // 边权重}}// 定义并查集的子集类static class Subset {int parent; // 父节点int rank;   // 秩（用于优化）}// 查找根节点（带路径压缩）private static int find(Subset[] subsets, int i) {if (subsets[i].parent != i)subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); // 路径压缩return subsets[i].parent;}// 合并两个集合（按秩合并）private static void union(Subset[] subsets, int x, int y) {int xroot = find(subsets, x);int yroot = find(subsets, y);// 将小秩树合并到大秩树下if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank) {subsets[xroot].parent = yroot;} else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank) {subsets[yroot].parent = xroot;} else {subsets[yroot].parent = xroot;subsets[xroot].rank++; // 秩相同时，合并后秩+1}}public static int kruskal(int[][] graph) {int V = graph.length; // 顶点数Edge[] edges = new Edge[V*V]; // 边列表（最坏情况下全连接）int edgeCount = 0;     // 实际边数计数器// 将邻接矩阵转换为边列表for (int i = 0; i < V; i++) {for (int j = i+1; j < V; j++) { // 只遍历上三角避免重复if (graph[i][j] != INF) {   // 如果存在边edges[edgeCount++] = new Edge(i, j, graph[i][j]);}}}// 裁剪边数组到实际大小edges = Arrays.copyOf(edges, edgeCount);// 按边权重升序排序Arrays.sort(edges, Comparator.comparingInt(o -> o.weight));// 初始化并查集Subset[] subsets = new Subset[V];for (int v = 0; v < V; v++) {subsets[v] = new Subset();subsets[v].parent = v; // 初始时每个顶点是自己的父节点subsets[v].rank = 0;    // 初始秩为0}int totalWeight = 0;    // MST总权重int selectedEdges = 0;   // 已选边数int i = 0;              // 当前处理的边索引// 当已选边数 < V-1 且还有未处理的边时继续while (selectedEdges < V - 1 && i < edges.length) {Edge nextEdge = edges[i++]; // 取出当前最小权重边int x = find(subsets, nextEdge.src);  // 查找起点所在集合int y = find(subsets, nextEdge.dest); // 查找终点所在集合// 如果不在同一集合（不会形成环）if (x != y) {union(subsets, x, y);         // 合并集合totalWeight += nextEdge.weight; // 累加权重selectedEdges++;              // 已选边数+1}}return totalWeight;}public static void main(String[] args) {// 定义与Prim相同的图int[][] graph = {{0, 6, 1, 5, INF, INF},{6, 0, 5, INF, 3, INF},{1, 5, 0, 4, 6, 4},{5, INF, 4, 0, INF, 2},{INF, 3, 6, INF, 0, 6},{INF, INF, 4, 2, 6, 0}};System.out.println("Kruskal MST Weight: " + kruskal(graph));}
}

代码对应实现案例

左侧为原无向图，右侧为两种最小生成树的求解结果