数学物理公式
麦克斯韦方程组
其中 ε₀E = D，μ₀H = B，ρ 是电荷密度，ε₀为真空介电常数，μ₀为真空磁导率，q 总为曲面包括的总电荷数，JfJ_fJf为传导电流密度，If是传导电流I_f是传导电流If是传导电流
| 符号 | 中文名称 | 英文全称 | 单位 | 物理意义 / 作用 | 常见公式 |
|---|---|---|---|---|---|
| ε₀ | 真空介电常数 | Permittivity of free space | F/m | 真空对电场的响应能力 | 固定常数 8.854×10−128.854×10^{-12}8.854×10−12 F/m |
| μ₀ | 真空磁导率 | Permeability of free space | H/m | 真空对磁场的响应能力 | 固定常数 4π×10−74\pi×10^{-7}4π×10−7 H/m |
| C | 电容 | Capacitance | F | 存储电荷能力 | 平行板：C=εS/dC=\varepsilon S/dC=εS/d |
| L | 电感 | Inductance | H | 存储磁能能力 | 螺线管：L=μN2S/lL=\mu N^2 S/lL=μN2S/l |
| E | 电场强度 | Electric field intensity | V/m | 电荷在电场中受力的大小方向 | F=qEF=qEF=qE |
| D | 电位移矢量 | Electric displacement field | C/m² | 计入介质极化的电场量 | ∇⋅D=ρf\nabla\cdot D=\rho_f∇⋅D=ρf |
| B | 磁感应强度 | Magnetic flux density | T (Wb/m²) | 磁场对运动电荷/电流的作用量 | F=q(v×B)F=q(v\times B)F=q(v×B) |
| H | 磁场强度 | Magnetic field intensity | A/m | 外加电流激发的磁场 | ∇×H=Jf+∂D/∂t\nabla \times H = J_f+\partial D/\partial t∇×H=Jf+∂D/∂t |
积分形式
∯SE⋅dS=q总ε0(1)∗\oiint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{q_{\text{总}}}{\varepsilon_0} \quad (1)^* ∬SE⋅dS=ε0q总(1)∗
∯SD⋅dS=q总(1)\oiint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = q_{\text{总}} \quad (1) ∬SD⋅dS=q总(1)
∮lE⋅dl=−∬S∂B∂t⋅dS(2)\oint_{l} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} \quad (2) ∮lE⋅dl=−∬S∂t∂B⋅dS(2)
∯SB⋅dS=0(3)\oiint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0 \quad (3) ∬SB⋅dS=0(3)
∮lB⋅dl=μ0I+μ0ε0∬S∂E∂t⋅dS(4)∗\oint_{l} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} \quad (4)^* ∮lB⋅dl=μ0I+μ0ε0∬S∂t∂E⋅dS(4)∗
∮lH⋅dl=If+∬S∂D∂t⋅dS(4)\oint_{l} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I_f + \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} \quad (4) ∮lH⋅dl=If+∬S∂t∂D⋅dS(4)
微分形式
∇⋅E=ρε0(1)∗\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad (1)^* ∇⋅E=ε0ρ(1)∗
∇⋅D=ρ(1)\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \quad (1) ∇⋅D=ρ(1)
∇×E=−∂B∂t(2)\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \quad (2) ∇×E=−∂t∂B(2)
∇⋅B=0(3)\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad (3) ∇⋅B=0(3)
∇×B=μ0(+ε0∂E∂t)(4)∗\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \left( \mathbf{} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \quad (4)^* ∇×B=μ0(+ε0∂t∂E)(4)∗
∇×H=j+∂D∂t(4)\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \quad (4) ∇×H=j+∂t∂D(4)
简化版积分形式
∯SD⋅dS=q总\oiint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = q_{\text{总}} ∬SD⋅dS=q总
∮lE⋅dl=−∬S∂B∂t⋅dS\oint_{l} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} ∮lE⋅dl=−∬S∂t∂B⋅dS
∯SB⋅dS=0\oiint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0 ∬SB⋅dS=0
∮lH⋅dl=I+∬S∂D∂t⋅dS\oint_{l} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I + \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} ∮lH⋅dl=I+∬S∂t∂D⋅dS
复数的 nnn 次方根定理
设 www 是一个非零复数，其极坐标形式为：
w=r(cosθ+isinθ),w = r (\cos \theta + i \sin \theta), w=r(cosθ+isinθ),
则 www 的 nnn 次方根为：
zk=rn(cos(θn+2kπn)+isin(θn+2kπn)),k=0,1,…,n−1.z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right) \right), \quad k = 0,1,\ldots,n-1.zk=nr(cos(nθ+n2kπ)+isin(nθ+n2kπ)),k=0,1,…,n−1.
二次互反律
设 p, q 是两个 不同的奇素数。记 勒让德符号 为：
(ap)={0,p∣a,1,a≢0(modp)且 x2≡a(modp)有解,−1,a≢0(modp)且 x2≡a(modp)无解.\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 0, & p \mid a, \\\\ 1, & a \not\equiv 0 \pmod p \ 且\ x^2 \equiv a \pmod p \ 有解, \\\\ -1, & a \not\equiv 0 \pmod p \ 且\ x^2 \equiv a \pmod p \ 无解. \end{cases} (pa)=⎩⎨⎧0,1,−1,p∣a,a≡0(modp) 且 x2≡a(modp) 有解,a≡0(modp) 且 x2≡a(modp) 无解.
则
(pq)(qp)=(−1)(p−1)2⋅(q−1)2.\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)}{2} \cdot \frac{(q-1)}{2}}. (qp)(pq)=(−1)2(p−1)⋅2(q−1).
电枢公式
参考 电枢公式
(∣kn)={x∣(n,x)=(n,k)∧x<n}=(n,k)∗(∣1n(n,k))\left ( |\frac{k}{n} \right )=\{x|(n,x)=(n,k)∧x<n\} =(n,k)*\left ( |\frac{1}{\frac{n}{(n,k)} } \right ) (∣nk)={x∣(n,x)=(n,k)∧x<n}=(n,k)∗(∣(n,k)n1)
容斥定理
参考 容斥定理
∣⋃i=1nAi∣=∑i=1n(−1)i−1A[i]\left|\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right|=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} A_{[i]}i=1⋃nAi=i=1∑n(−1)i−1A[i]