考研复习-线性代数-第二章-矩阵
方阵的幂运算
1.方阵的幂运算
2.找规律
即直接手算多次即可发现规律
3.秩1矩阵的高次幂计算
其本质写成一行×一列
高次幂的推到如下
4.A可拆成E+B，B的多次幂为0，用多项式定理可求高次幂
5.矩阵相似
证明
A*A=p-1Bp*p-1Bp=PB²P
6.初等变换
每一个初等变换的n次方都是对该初等变换进行n次
方阵乘积的行列式
即两个n阶方阵相乘，其互换位置后的行列式也相同且可拆分
对称矩阵的概念
二阶方阵的伴随
矩阵可逆的充分必要条件
初等矩阵
单位阵经历过一次初等变换得到的矩阵成为初等矩阵
初等行变换求A的逆
如下所示已知AB 求A-1B
矩阵的秩的概念
行最简形矩阵
即每个阶梯的开头都是1，并且1的那一列其他元素都是0
而行最简一定能化成标准型
秩的性质和公式
矩阵等价
秩相等即可证明等价，同形矩阵，A经历有限次初等变换得到B即说明二者等价
分块矩阵及其运算
特别注意转置需要改变副对角线的位置
特殊分块矩阵的乘法举例
初等变换求逆矩阵的证明
矩阵的运算规律
矩阵幂运算公式
矩阵乘法可交换的情况
其中正交矩阵即A转置等于
伴随运算公式
矩阵与行列式的关系和运算
对角矩阵运算公式
对角阵乘积的公式是两个对角线元素相乘即可
副对角
分块矩阵的对角运算
其中主要注意伴随矩阵
分块矩阵的秩
小矩阵不会>大矩阵
其中5的推导即为，AP本质是A的线性组合，所以可以用A经历初等列变换消去AP得到[A,0]
其中可逆矩阵是方阵不会出现列满秩<行数
其中最关键的点在于判断出AB相乘之后矩阵的秩变小了，那么就会得到A一定不可逆，因为如果可逆那么就是初等变换那么就不会改变矩阵的秩。
分块矩阵的运算
分块矩阵的初等变换
分块初等矩阵的定义
同初等矩阵变换差不多
矩阵和秩的总结
方程组与秩
特征值特征向量与秩
相似矩阵与秩
秩1矩阵的特性
例题
秩1矩阵
三角矩阵主对角为1
矩阵等式恒等变形
只要通过配凑法配出答案要求的矩阵的逆×多项式，然后右边是单位阵的倍数，即可求得答案
合理将单位矩阵变形成附近的矩阵完成配凑
向量行列变换的关系
西尔韦斯特不等式
高次幂矩阵的总结
对角阵高次幂，分割化为(E+B)
