[高等数学] 定积分的概念与性质
一、知识点
（一）定积分定义
定义
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界，在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 中任意插入若干个分点
a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b , a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b, a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b,
把区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 分成 n n n 个小区间 [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , ⋯ , [ x n − 1 , x n ] , [x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n], [x0,x1],[x1,x2],⋯,[xn−1,xn], 各小区间的长度依次为 Δ x 1 = x 1 − x 0 , Δ x 2 = x 2 − x 1 , ⋯ , Δ x n = x n − x n − 1 . \Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}. Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1,⋯,Δxn=xn−xn−1. 在每个小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1,xi] 上任取一点 ξ i ( x i − 1 ≤ ξ i ≤ x i ) \xi_i(x_{i-1}\leq \xi_i\leq x_i) ξi(xi−1≤ξi≤xi)，作函数值 f ( ξ i ) f(\xi_i) f(ξi) 与小区间长度 Δ x i \Delta x_i Δxi 的乘积 f ( ξ i ) Δ x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,\cdots,n) f(ξi)Δxi(i=1,2,⋯,n)，并求和 S = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i . (1) S=\sum^{n}_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i. \tag{1} S=i=1∑nf(ξi)Δxi.(1)
记
λ
=
m
a
x
{
Δ
x
1
,
Δ
x
2
,
⋯
,
Δ
x
n
}
\lambda=max\lbrace \Delta x_1, \Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\rbrace
λ=max{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}，如果不论对
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 怎样划分，也不论在小区间
[
x
i
−
1
,
x
i
]
[x_{i-1},x_i]
[xi−1,xi] 上点
ξ
i
\xi_i
ξi 怎样选取，只要当
λ
→
0
\lambda \rightarrow 0
λ→0 时，和
S
S
S 总趋于确定的极限
I
I
I，那么称这个极限
I
I
I 为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的定积分（简称积分），记作
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\int ^b _af(x)dx
∫abf(x)dx，即
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
I
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
,
\int ^b _a f(x)dx=I=\lim_{\lambda\rightarrow0} \sum ^n_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i,
∫abf(x)dx=I=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi,
其中
f
(
x
)
f(x)
f(x) 叫做被积函数，
f
(
x
)
d
x
f(x)dx
f(x)dx 叫做被积表达式，
x
x
x 叫做积分变量，
a
a
a 叫做积分下限，
b
b
b 叫做积分上限，
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 叫做积分区间.
定理1
设 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积.
定理2
设 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积.
（二）定积分的性质
性质1
∫ a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x \int ^b_a[f(x)\pm g(x)]dx=\int ^b_a f(x)dx\pm \int^b_a g(x)dx ∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx
性质2
∫ a b k f ( x ) d x = k ∫ a b f ( x ) d x \int ^b_a kf(x)dx=k\int ^b_a f(x)dx ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx （ k k k 是常数）
性质3
设 a < c < b a<c<b a<c<b，则 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int ^b_af(x)dx=\int ^c_a f(x)dx+\int ^b_c f(x)dx ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
性质4
如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 f ( x ) ≡ 1 f(x)\equiv1 f(x)≡1，则 ∫ a b 1 d x = ∫ a b d x = b − a \int ^b_a1dx=\int ^b_adx=b-a ∫ab1dx=∫abdx=b−a
性质5
如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上， f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq 0 f(x)≥0 则 ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 , ( a < b ) \int ^b_a f(x)dx\geq 0,(a<b) ∫abf(x)dx≥0,(a<b)
推论1
如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上， f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)\leq g(x) f(x)≤g(x)，则 ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x , ( a < b ) \int ^b_af(x)dx\leq \int ^b_ag(x)dx,(a<b) ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx,(a<b)
推论2
∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x , ( a < b ) \begin{vmatrix}\int ^b_af(x)dx\end{vmatrix}\leq \int^b_a |f(x)|dx,(a<b) ∫abf(x)dx ≤∫ab∣f(x)∣dx,(a<b)
性质6
设 M M M 及 m m m 分别是函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的最大值及最小值，则 m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq \int ^b_a f(x)dx\leq M(b-a) m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在积分区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续，则在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上至少存在一个点 ξ \xi ξ，使 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) , ( a ≤ ξ ≤ b ) \int ^b_a f(x)dx=f(\xi)(b-a),(a\leq \xi \leq b) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a),(a≤ξ≤b)
二、练习题
题：
利用定积分定义计算由抛物线 y = x 2 + 1 y=x^2+1 y=x2+1，两直线 x = a x=a x=a、 x = b ( b > a ) x=b(b>a) x=b(b>a)及 x x x 轴所围成的图形的面积.
解：
∵ \because ∵ 被积函数 f ( x ) = x 2 + 1 f(x)=x^2+1 f(x)=x2+1 在积分区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续
∴ \therefore ∴ 函数 f ( x ) f(x) f(x) 可积, 且与区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 的分法及点 ξ i \xi_i ξi 的取法无关
假定把区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 分成 n n n 等份，分点为 x i = a + ( b − a ) i n ( i = 0 , 1 , ⋯ , n ) x_i=a+\frac{(b-a)i}{n}(i=0,1,\cdots,n) xi=a+n(b−a)i(i=0,1,⋯,n).
这样，每个小区间的长度为 Δ x i = b − a n \Delta x_i=\frac{b-a}{n} Δxi=nb−a,
取 ξ i = x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \xi_i=x_i(i=1,2,\cdots,n) ξi=xi(i=1,2,⋯,n) 可得
∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = ∑ i = 1 n ( ξ i 2 + 1 ) Δ x i = ∑ i = 1 n { [ a + ( b − a ) i n ] 2 + 1 } ⋅ b − a n = ∑ i = 1 n [ a 2 + ( b − a ) 2 i 2 n 2 + 2 a i ( b − a ) n + 1 ] ⋅ b − a n = ( a 2 + 1 ) ( b − a ) + ∑ i = 1 n ( b − a ) 3 i 2 n 3 + ∑ i = 1 n 2 a i ( b − a ) 2 n 2 = ( a 2 + 1 ) ( b − a ) + ( b − a ) 3 n 3 ⋅ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + 2 a ( b − a ) 2 n 2 ⋅ n ( n + 1 ) 2 = ( a 2 + 1 ) ( b − a ) + ( b − a ) 3 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + a ( b − a ) 2 ( n + 1 ) n = 1 3 ( b − a ) ( a 2 + b 2 + a b + 3 ) \begin{aligned}\sum^n_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i &=\sum^n_{i=1}(\xi_i^2+1)\Delta x_i\\ &=\sum^n_{i=1}\lbrace[a+\frac{(b-a)i}{n}]^2+1\rbrace\cdot \frac{b-a}{n}\\ &=\sum^n_{i=1}[a^2+\frac{(b-a)^2i^2}{n^2}+\frac{2ai(b-a)}{n}+1]\cdot \frac{b-a}{n}\\ &=(a^2+1)(b-a)+\sum^n_{i=1}\frac{(b-a)^3i^2}{n^3}+\sum^n_{i=1}\frac{2ai(b-a)^2}{n^2}\\ &=(a^2+1)(b-a)+\frac{(b-a)^3}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{2a(b-a)^2}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\\ &=(a^2+1)(b-a)+\frac{(b-a)^3(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{a(b-a)^2(n+1)}{n}\\ &=\frac{1}{3}(b-a)(a^2+b^2+ab+3) \end{aligned} i=1∑nf(ξi)Δxi=i=1∑n(ξi2+1)Δxi=i=1∑n{[a+n(b−a)i]2+1}⋅nb−a=i=1∑n[a2+n2(b−a)2i2+n2ai(b−a)+1]⋅nb−a=(a2+1)(b−a)+i=1∑nn3(b−a)3i2+i=1∑nn22ai(b−a)2=(a2+1)(b−a)+n3(b−a)3⋅6n(n+1)(2n+1)+n22a(b−a)2⋅2n(n+1)=(a2+1)(b−a)+6(b−a)3(n+1)(2n+1)+na(b−a)2(n+1)=31(b−a)(a2+b2+ab+3)
当 λ → 0 \lambda\rightarrow 0 λ→0，即 n → ∞ n\rightarrow \infty n→∞ 时，可得到所要计算的积分
∫ a b ( x 2 + 1 ) d x = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = lim n → ∞ [ ( a 2 + 1 ) ( b − a ) + ( b − a ) 3 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + a ( b − a ) 2 ( n + 1 ) n ] = 1 3 ( b − a ) ( a 2 + b 2 + a b + 3 ) \begin{aligned} \int ^b_a (x^2+1)dx&=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum ^n_{i=1}f(\xi_i)\Delta x_i\\ &=\lim_{n\rightarrow \infty}[(a^2+1)(b-a)+\frac{(b-a)^3(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{a(b-a)^2(n+1)}{n}]\\ &=\frac{1}{3}(b-a)(a^2+b^2+ab+3) \end{aligned} ∫ab(x2+1)dx=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi=n→∞lim[(a2+1)(b−a)+6(b−a)3(n+1)(2n+1)+na(b−a)2(n+1)]=31(b−a)(a2+b2+ab+3)
学习资料：《高等数学（第六版）》 ，同济大学数学系 编