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news 2025/9/25 12:29:51

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一、平方根倒数算法的由来

在制作3D游戏的时候，曲面是由许多平面构成的，要求出光线在物体表面反射后的效果，就需要知道平面的单位法向量，法向量的长度的平方R很容易求出，单位法向量 = 坐标值 / R的平方根。电脑每次都要进行百万次这样的计算，每次计算节约一些时间就可以大大提高游戏的帧率。而平方根快速算法就是干这行的。

二、牛顿法

当我们要求解2的平方根的时候，可以借助图形 $y = x^2-2$ 当 y = 0的时候就可以算出2的平方根了。现在我们可以使用牛顿的迭代法，随便取一个在曲线上的点，求出该点的切线与y = 0的交点，此时他是更精确的借，将这个算法迭代几次你就可以找到一个近似解出来了。

但是牛顿法有个问题，如果我开始随便找一个点，找了个100，那导致迭代次数很多次后才能慢慢达到一个较好的精度。但如果你开始就用1.414来计算，你只用一次就可以算出一个理想的高精度解。

三、平方根倒数算法

我们只用把二进制数处理一下就可以得到牛顿法需要的初始值。

那么首先我们要了解一下，在电脑中是如何存放二进制数的。在32位表示一个浮点数的情况下，S(1位符号位) + E(8位指数位)+M(23位尾数位)。注意尾数位指标是小数点后的数，也就是说现在的M表示0.5，加上省略的1+小数点，则表示1.5*2^E-127。指数为如前面所述，支持正负所以要 -127。

那么通过对数来简化指数和乘法运算。

在式中有几个点需要提出的是

① $\log (1+x)$ 在(0,1)之间约等于x，所以直接拿下来了。

②在二进制中*2表示左移一位，所以左移E 23位后加上23位的M正好是y在计算机中的二进制格式。

所以我们得出结论 $\log y = \frac{Y}{2^{^(23)}} - 127$ 。

所以根据问题，我们需要知道y的平方根的倒数即：

将上述结论代入后得到：

虽然做到这一步就挺好了，但是为了提高整体精度，我们似乎还可以把y = x向上提高一点，同时0x5f400000对应着381*2^22 ，同时0.5*Y也可以改成Y右移一位，毕竟我们只用找到近似解就行，后面还有牛顿算法保底呢。

四、代码

float invSqrt(float x) {float halfx = 0.5f * x;float y = x;long i = *(long*)&y;i = 0x5f3759df - (i>>1);y = *(float*)&i;y = y * (1.5f - (halfx * y * y));return y;
}

最后这个牛顿迭代的方程如下图所示来自GPT4：