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博弈论（Game Theory）是研究理性决策者在策略互动中如何行动和决策的数学理论。它广泛应用于经济学、政治学、生物学、计算机科学等领域。以下是博弈论的主要思想和核心概念：
1. 核心思想
博弈论的核心是分析多个参与者（玩家）在相互依赖的情境中如何做出最优决策，即每个人的收益不仅取决于自己的选择，还取决于他人的选择。主要特点包括：
- 策略互动：玩家的决策相互影响。
- 理性假设：玩家追求自身利益最大化（理性人假设）。
- 均衡概念：寻找策略组合下的稳定状态（如纳什均衡）。
2. 基本要素
一个博弈通常包含以下要素：
- 玩家（Players）：参与决策的个体或组织。
- 策略（Strategies）：玩家可选的行动方案。
- 收益（Payoffs）：玩家在特定策略组合下的结果（用效用或数值表示）。
- 信息结构：玩家对其他玩家策略和收益的了解程度（完全信息/不完全信息）。
3. 博弈的分类
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合作博弈 vs. 非合作博弈
- 非合作博弈：玩家独立行动，不形成联盟（如囚徒困境）。
- 合作博弈：允许玩家达成有约束力的协议（如联盟博弈）。
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静态博弈 vs. 动态博弈
- 静态博弈（同时行动）：玩家同时选择策略（如石头剪刀布）。
- 动态博弈（序贯行动）：玩家轮流行动（如象棋、市场进入博弈）。
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完全信息 vs. 不完全信息
- 完全信息：所有玩家的策略和收益函数是共同知识。
- 不完全信息：玩家对他人信息不确定（如拍卖中的私人估价）。
4. 关键概念与解
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纳什均衡（Nash Equilibrium）
在均衡中，每个玩家的策略是对其他玩家策略的最优反应，无人有动力单方面改变策略。- 例：囚徒困境中的（坦白，坦白）是纳什均衡。
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占优策略（Dominant Strategy）
无论其他玩家如何选择，某一策略对玩家始终最优。- 例：囚徒困境中“坦白”是占优策略。
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帕累托最优（Pareto Optimality）
若不存在其他策略组合能使至少一人更好而不损害他人，则该策略组合是帕累托最优。 -
子博弈完美均衡（Subgame Perfect Equilibrium）
动态博弈中，玩家的策略在每个子博弈中都是最优的（排除不可信的威胁）。 -
贝叶斯均衡（Bayesian Equilibrium）
不完全信息博弈中，玩家基于概率信念选择最优策略。
5. 经典博弈案例
- 囚徒困境：个人理性导致集体非最优，揭示合作与背叛的冲突。
- 智猪博弈（Pigs’ Payoff）：小玩家“搭便车”现象。
- 性别之战（Battle of the Sexes）：协调博弈中的多重均衡。
- 最后通牒博弈（Ultimatum Game）：公平心理对理性决策的挑战。
6. 应用领域
- 经济学：寡头竞争、拍卖设计、契约理论。
- 政治学：国际关系中的威慑、投票策略。
- 生物学：进化稳定策略（ESS），如动物争夺资源。
- 计算机科学：多智能体系统、算法博弈论（如网络路由）。
7. 局限与扩展
- 理性假设的挑战：现实中人类行为可能非完全理性（行为博弈论）。
- 复杂性：高维策略空间或动态博弈可能难以求解。
- 演化博弈论：引入学习与适应过程，分析策略的长期稳定性。
博弈论通过数学模型揭示策略互动的本质，为理解竞争与合作提供了强大工具，但其应用需结合具体情境和现实约束。