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多元函数可微性的完整证明方法与理解

news 2025/9/24 10:35:33

什么是多元函数的可微性？

多元函数的可微性是微积分中的一个核心概念，它描述了函数在某一点附近能否用线性函数很好地近似。对于二元函数 $z = f (x, y)$ ，可微性意味着在点 $x_0, y_0)$ 附近，函数值的变化可以由一个线性变换（全微分）来近似。

证明多元函数可微的完整三步法

第一步：写出全增量 Δz

全增量表示函数值在点 $x_0, y_0)$ 处的实际变化量：

$Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$

理解：Δz 衡量了当自变量从 $x_0, y_0)$ 变化到 $(x0+Δx,y0+Δy)(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$ 时，函数值的真实变化。

第二步：写出全微分 dz

全微分是函数增量的线性近似：

$f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y$

其中 $f_x$ 和 $f_y$ 是函数在 $x_0, y_0)$ 处的偏导数。

理解：dz 表示如果函数是线性的，那么它的增量应该是多少。可微性要求这个线性近似与真实增量之间的误差是高阶无穷小。

第三步：计算极限判断可微性

关键极限表达式：

$lim⁡(Δx,Δy)→(0,0)Δz−dz(Δx)2+(Δy)2=0\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{\Delta z - dz}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = 0$

如果这个极限等于 0，则函数在 $x_0, y_0)$ 处可微。

理解：这个极限检验的是线性近似的相对误差。分母 $(Δx)2+(Δy)2\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 是自变量变化的距离，分子是实际增量与线性近似的差值。极限为 0 意味着当自变量变化很小时，线性近似的误差相对于变化距离是高阶无穷小。

完整示例演示

例题：证明函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 1)$ 处可微。

第一步：计算 Δz

$Δz=f(1+Δx,1+Δy)−f(1,1)\Delta z = f(1 + \Delta x, 1 + \Delta y) - f(1, 1)$
$\Delta x)^2 + (1 + \Delta y)^2] - (1^2 + 1^2)$
$2\Delta x + (\Delta x)^2 + 1 + 2\Delta y + (\Delta y)^2] - 2$
$2\Delta x + 2\Delta y + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$

第二步：计算 dz

首先求偏导数：

$f_x(x, y) = 2x$ ，所以 $f_x(1, 1) = 2$
$f_y(x, y) = 2y$ ，所以 $f_y(1, 1) = 2$

全微分为：
$f_x(1, 1)\Delta x + f_y(1, 1)\Delta y = 2\Delta x + 2\Delta y$

第三步：计算关键极限

$Δz−dz=[2Δx+2Δy+(Δx)2+(Δy)2]−[2Δx+2Δy]=(Δx)2+(Δy)2\Delta z - dz = [2\Delta x + 2\Delta y + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2] - [2\Delta x + 2\Delta y] = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$

计算极限：
$lim⁡(Δx,Δy)→(0,0)(Δx)2+(Δy)2(Δx)2+(Δy)2=lim⁡(Δx,Δy)→(0,0)(Δx)2+(Δy)2=0\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = 0$