C++大整数类的设计与实现
1. 简介
我们知道现代的计算机大多数都是64位的，因此能处理最大整数为
2
64
−
1
2^{64}-1
264−1。那如果是超过了这个数怎么办呢，那就需要我们自己手动模拟数的加减乘除了。
2. 思路
我们可以用一个数组来存储大数，数组中的每一个位置表示一个数位。为了方便，我们直接用
S
T
L
STL
STL中的vector来存。
2.1 大数加法
我们需要把两个大数的最低位对齐，然后再开始相加。唯一需要注意的是处理一下最高位置的进位置。
2.2 大数减法
大数减法跟加法不一样的是，我们需要处理相减后的前导0，因为有可能出现相减为0的情况。处理前导0只需要从最高位开始到第2位的连续0。
2.3 大数乘法
大数乘法与加法不同的是，每次相乘后放到相应的位置而不是相乘的位次本身。
2.4 大数除法
大数除法是最难的，我们用减法进行模拟。
假设两个大数为 a b a\ b a b， a a a为除数， b b b为被除数。
我们每次需要找到最接近被除数的除数的进制次倍数 m m m：
D
0
:
=
{
d
:
a
×
1
0
d
≤
b
}
d
0
=
max
{
D
0
}
m
0
=
a
×
1
0
d
0
D_0 := \{d: a\times 10^d \le b\}\\ d_0 =\max \{D_0\}\\ m_0=a \times 10^{d_0}
D0:={d:a×10d≤b}d0=max{D0}m0=a×10d0
通过大数减法算出
t
0
=
⌊
b
/
m
0
⌋
t_0 =\lfloor b/m_0 \rfloor
t0=⌊b/m0⌋, 因此商需要加上
a
n
s
=
a
n
s
+
t
0
1
0
d
0
ans = ans +t_010^{d_0}
ans=ans+t010d0。
此时余数为 b 1 b_1 b1，如果 b 1 < a b_1<a b1<a，说明我们的除法做完了，否则令 b = b 1 b=b_1 b=b1, 继续重复上面的过程直到 b k < a b_k <a bk<a。
2.5 符号问题
我们在加减乘除的时候，
可以将符号问题单独考虑。
因此可以写一个绝对值的大数相加，还有一个版本
的一个大的大数减一个小的大数的大数减法。
而至于乘除法的符号问题比较容易处理，因此可以
一同处理符号的问题。
3. 实现
放在gitee上了。
4. TODO
- 更加丰富的测试样例
- 加减乘除未兼容普通整数
- 大数除法中的负数的商不是最小非负余数