【算法笔记】异或运算

异或运算，指的是二进制的位运算

1、异或运算

• 异或运算
• 认识异或运算:二进制位相同为0，不同为1，可以记成无进位相加！
• 异或运算的性质
• 1、0^a == a a^a == 0
• 2、异或运算满足交换律和结合律:
• a^b = b^a
• a^(bc) = (a^b)c

2、相关题目和应用

题目一：如何不用额外变量交换两个数

思路：根据异或运算的性质

• 1、先将a的值设置为a^b
• 2、再将b的值设置为a^{b，代入上一步的结果，b=a}b^b,因为bb=0,则b=a
• 3、再将a的值设置为a^{b，代入上面两步的结果，a=a}b,b=a,则a=a^ba,所以a=b
• 注意：
• 异或方法交换两个数的本质是将当前的数的位置当成了临时变量，所以在第一步中，a=a^b,第二步中b=a
• 所以代入第三步的时候因该是a=a^ba=a=b

/*** 题目一：如何不用额外变量交换两个数* 思路：根据异或运算的性质* 1、先将a的值设置为a^b* 2、再将b的值设置为a^b，代入上一步的结果，b=a^b^b,因为b^b=0,则b=a* 3、再将a的值设置为a^b，代入上面两步的结果，a=a^b,b=a,则a=a^b^a,所以a=b* 注意：* 异或方法交换两个数的本质是将当前的数的位置当成了临时变量，所以在第一步中，a=a^b,第二步中b=a* 所以代入第三步的时候因该是a=a^b^a=a=b*/public static void swap(int a, int b) {a = a ^ b;b = a ^ b;a = a ^ b;}/*** 用异或交换数组中的两个数*/public static void swap(int[] arr, int i, int j) {if (i == j) {// 异或方法交换两个数的本质是将当前的数的位置当成了临时变量// 所以，i和j不能是同一个位置，如果是同一个位置，会将当前位置的数变成0return;}arr[i] = arr[i] ^ arr[j];arr[j] = arr[i] ^ arr[j];arr[i] = arr[i] ^ arr[j];}

题目二：数组中有一种数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，怎么找到这种数

思路：

• 根据异或运算的性质
• 一个数和自己异或就变成了0，0和自己异或是其本身，
• 可以得出一个结论：一个数和本身异或偶数次，就会变成0，一个数和本身异或奇数次，还是本身
• 所以，将数组中的所有数异或起来，最后异或的结果就是出现了奇数次的数

    /*** 题目二：数组中有一种数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，怎么找到这种数* 思路：* 根据异或运算的性质* 一个数和自己异或就变成了0，0和自己异或是其本身，* 可以得出一个结论：一个数和本身异或偶数次，就会变成0，一个数和本身异或奇数次，还是本身* 所以，将数组中的所有数异或起来，最后异或的结果就是出现了奇数次的数*/public static int getOddTimeNum(int[] arr) {if (arr == null || arr.length == 0) {throw new IllegalArgumentException("数组不能为空");}int xor = 0;for (int i : arr) {xor ^= i;}return xor;}

题目三：获取一个数二进制中最右侧的1所对应的数

思路：

• 最右侧的1对应的数指的是一个数转换成二进制以后，每个位上要么是1，要么是0，我们将这个二进制数的最右侧的1保留下来，其他的都设置为0，这个数就是最右侧的1对应的数
• 例如：10100，最右侧的1对应的数就是00100
  过程：
• 这个题的重点是如何将最右侧的1保留下来，其他的都设置为0，下面是思路
• 1、将这个数取反，例如10100取反就是01011
• 2、将按位取反后的数加1，这样就会产生进位，结果恰好是最右侧的1和原来数字最右侧1对应，产生进位的位置都变成了0，示例中01011+1=01100
• 3、再将这个数和取反加一后的数字按位与，这样就会将最右侧的1保留下来，其他的都设置为0，例如 10100 & 01100 = 00100
• 4、所以，我们可以通过num&(~num+1)来获取最右侧的1所对应的数，根据补码性质，一个数的相反数就是其反码加1，所以可以得出下面的结论
• num&(~num+1) = num&(-num)
• 5、所以，我们可以通过num&(-num)来获取最右侧的1所对应的数

/*** 题目三：获取一个数二进制中最右侧的1所对应的数* 思路：* 最右侧的1对应的数指的是一个数转换成二进制以后，每个位上要么是1，要么是0，我们将这个二进制数的最右侧的1保留下来，其他的都设置为0，这个数就是最右侧的1对应的数* 例如：10100，最右侧的1对应的数就是00100* 过程：* 这个题的重点是如何将最右侧的1保留下来，其他的都设置为0，下面是思路* 1、将这个数取反，例如10100取反就是01011* 2、将按位取反后的数加1，这样就会产生进位，结果恰好是最右侧的1和原来数字最右侧1对应，产生进位的位置都变成了0，示例中01011+1=01100* 3、再将这个数和取反加一后的数字按位与，这样就会将最右侧的1保留下来，其他的都设置为0，例如 10100 & 01100 = 00100* 4、所以，我们可以通过num&(~num+1)来获取最右侧的1所对应的数，根据补码性质，一个数的相反数就是其反码加1，所以可以得出下面的结论* num&(~num+1) = num&(-num)* 5、所以，我们可以通过num&(-num)来获取最右侧的1所对应的数*/public static int getFarRightOneTimeNum(int num) {return num & (-num);}
public static void main(String[] args) {System.out.println("-----测试数组中有一个数出现奇数次-----");System.out.println(getOddTimeNum(new int[]{1, 1, 3, 3, 5, 6, 6, 8, 8, 10, 10}));}

题目四：个数组中有两种数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，怎么找到这两种数

思路：

• 题目二我们找到了一种出现奇数次的数，这个题目中是两种奇数次，比题目二更难一点
• 1、结合题目二的思路，如果我们将所有的数都异或起来，最后异或后的结果就是 两个奇数次的数异或的结果，如果将这两种数设为a和b，则异或的结果xor=a^b，现在的问题是如何从异或结果中分开这两个数的问题。
• 2、两个数如果同一个位置相同，异或后这个位置就会成为0，因此如果我们取出异或结果最右侧为1的数rightOne，代表a、b中该位置只有一个是1，另一个是0
• 3、这个时候我们再将数组中该位置位1的数单独异或一次，得到的结果xor1,代表了a、b中最右侧位置为1的一个数
• 4、再将xor和xor1进行异或，就可以得到另一个数

/*** 题目四：个数组中有两种数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，怎么找到这两种数* 思路：* 题目二我们找到了一种出现奇数次的数，这个题目中是两种奇数次，比题目二更难一点* 1、结合题目二的思路，如果我们将所有的数都异或起来，最后异或后的结果就是 两个奇数次的数异或的结果，如果将这两种数设为a和b，则异或的结果xor=a^b，现在的问题是如何从异或结果中分开这两个数的问题。* 2、两个数如果同一个位置相同，异或后这个位置就会成为0，因此如果我们取出异或结果最右侧为1的数rightOne，代表a、b中该位置只有一个是1，另一个是0* 3、这个时候我们再将数组中该位置位1的数单独异或一次，得到的结果xor1,代表了a、b中最右侧位置为1的一个数* 4、再将xor和xor1进行异或，就可以得到另一个数*/public static DoubleOddResult getDoubleOddTimeNum(int[] arr) {if (arr == null || arr.length == 0) {throw new IllegalArgumentException("数组不能为空");}// 首先得到xor=a^bint xor = 0;for (int i : arr) {xor ^= i;}// 得到最右侧的1所对应的数(题目三的结论)int rightOne = xor & (-xor);// 将数组中最右侧为1的数提取出来，单独异或，得到a或者bint xor1 = 0;for (int i : arr) {if ((i & rightOne) != 0) {xor1 ^= i;}}// 得到另一个数int xor2 = xor ^ xor1;return new DoubleOddResult(xor1, xor2);}public static void main(String[] args) {System.out.println("-----测试数组中有一个数出现奇数次-----");System.out.println(getOddTimeNum(new int[]{1, 1, 3, 3, 5, 6, 6, 8, 8, 10, 10}));System.out.println("-----测试数组中有两个数出现奇数次-----");DoubleOddResult result = getDoubleOddTimeNum(new int[]{1, 1, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 10, 10});System.out.println(result.num1);System.out.println(result.num2);}static class DoubleOddResult {public DoubleOddResult(int num1, int num2) {this.num1 = num1;this.num2 = num2;}int num1;int num2;}

题目五：数组中所有的数都出现了M次，只有一种数出现了K次，且1 <= K < M(输入一定能够保证)，返回出现K次的数

思路：

• 这个题目最简单的办法就是用一个map，将每个数出现的次数统计出来，然后遍历map，找到出现次数为K的数，只是用了map，空间复杂度就会变高
• 顺着这个思路，我们可以用和一个int占用同样大小(java中int是4个字节，32位)的空间的数组help，用help数组对应的下边来记录原来数中对应位置为1的个数
• 因为其他数字都出现了M次，那对应位置为1的个数和一定是能被M整除的，如果不能被整除，说明出现K次的数在这个位置上为1，我们就把这个位置还原
• 最后还原得到的数，就是出现了K次的数

代码和对数期测试方法如下：

import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;public class KM {/*** 题目五：数组中所有的数都出现了M次，只有一种数出现了K次，且1 <= K < M(输入一定能够保证)，返回出现K次的数* 思路：* 这个题目最简单的办法就是用一个map，将每个数出现的次数统计出来，然后遍历map，找到出现次数为K的数，只是用了map，空间复杂度就会变高* 顺着这个思路，我们可以用和一个int占用同样大小(java中int是4个字节，32位)的空间的数组help，用help数组对应的下边来记录原来数中对应位置为1的个数* 因为其他数字都出现了M次，那对应位置为1的个数和一定是能被M整除的，如果不能被整除，说明出现K次的数在这个位置上为1，我们就把这个位置还原* 最后还原得到的数，就是出现了K次的数*/public static int km(int[] arr, int k, int m) {if (arr == null || arr.length == 0) {throw new IllegalArgumentException("数组不能为空");}int[] help = new int[32];// 用help数组对应下标的数字记录原数组中对应位置为1的个数，例如help[0]记录的是原数组中所有数的二进制表示中，第0位为1的个数for (int num : arr) {for (int i = 0; i < 32; i++) {// num >> i 代表将i位置的数移动到最右侧，然后 & 1，将其他的位置上的数字都置为0，只保留该位置的数help[i] += (num >> i) & 1;}}// 保存还原的结果的数字int result = 0;// 遍历help数组，将对应位置为1的个数不是M的倍数的位置，还原到result中for (int i = 0; i < 32; i++) {if (help[i] % m != 0) {// 说明出现K次的数在这个位置上为1，将这个位置上的数还原到result中result |= (1 << i);}}return result;}/*** 用对数器的方法测试*/public static void main(String[] args) {// 测试次数int testTime = 500000;// 数组最大长度int maxSize = 100;// 最大的多少种数int kinds = 5;// 用来限制k和m的最大值int max = 9;boolean succeed = true;for (int i = 0; i < testTime; i++) {int a = (int) (Math.random() * max) + 1; // a 1 ~ 9int b = (int) (Math.random() * max) + 1; // b 1 ~ 9int k = Math.min(a, b);int m = Math.max(a, b);// k < mif (k == m) {m++;}// 先生成一个随机的数组int[] arr = generateKMRandomArray(kinds, maxSize, k, m);int result1 = km(arr, k, m);int result2 = kmComparator(arr, k, m);
//            System.out.println("原数组：");
//            printArray(arr);
//            System.out.printf("k的值：%d,m的值：%d,km算法的结果：%d,比较器的结果：%d\n", k, m, result1, result2);if (result1 != result2) {succeed = false;System.out.println("原数组：");printArray(arr);System.out.printf("k的值：%d,m的值：%d,km算法的结果：%d,比较器的结果：%d\n", k, m, result1, result2);break;}}System.out.println(succeed ? "successful!" : "error!");}/*** km问题的比较器，用来判断km算法的结果是否正确* 直接使用map统计每个数出现的次数，然后遍历map，找到出现次数为K的数*/public static int kmComparator(int[] arr, int k, int m) {HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();for (int num : arr) {if (map.containsKey(num)) {map.put(num, map.get(num) + 1);} else {map.put(num, 1);}}int ans = 0;for (int num : map.keySet()) {if (map.get(num) == k) {ans = num;break;}}return ans;}/*** 生成一个满足km问题的随机数组*/public static int[] generateKMRandomArray(int maxKinds, int maxSize, int k, int m) {// 一共有多少种数,最少要有出现k和m两种int numKinds = (int) (Math.random() * maxKinds) + 2;// 数组长度： k  + (numKinds - 1) * mint[] arr = new int[k + (numKinds - 1) * m];// 得到出现k次所对应的数int kTimeNum = randomNumber(maxSize);// 先把k的数字填进去int index = 0;for (; index < k; index++) {arr[index] = kTimeNum;}// 填入其他的数字numKinds--;// 用来验证生成的数字有没有用过HashSet<Integer> set = new HashSet<>();set.add(kTimeNum);while (numKinds != 0) {int curNum = 0;do {// 生成没有用过的数字curNum = randomNumber(maxSize);} while (set.contains(curNum));set.add(curNum);numKinds--;for (int i = 0; i < m; i++) {arr[index++] = curNum;}}// arr 填好了，随机交换一下位置for (int i = 0; i < arr.length; i++) {// i 位置的数，我想随机和j位置的数做交换int j = (int) (Math.random() * arr.length);// 0 ~ N-1int tmp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = tmp;}return arr;}/*** 生成一个满足[-maxSize, +maxSize]的数*/public static int randomNumber(int maxSize) {return (int) (Math.random() * (maxSize + 1)) - (int) (Math.random() * (maxSize + 1));}public static void printArray(int[] arr) {if (arr == null) {return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();}}

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后记
个人学习总结笔记，不能保证非常详细，轻喷