【Luogu_P5839】 [USACO19DEC] Moortal Cowmbat G【动态规划】

P5839 [USACO19DEC] Moortal Cowmbat G

题目描述

Bessie 玩格斗游戏真牛快打已经有很长时间了。然而，最近游戏开发者发布了一项更新，这迫使 Bessie 改变她的打法。

游戏总共使用 $M$ 个按键，标记为前 $M$ 个小写字母。Bessie 在游戏中最喜欢的组合键是一个长为 $N$ 的按键字符串 $S$。然而，由于最近的更新，现在每种组合键必须由一些“连击”所组成，其中连击的定义为相同的按键连续按下至少 $K$ 次。Bessie想要修改她最喜欢的组合键，创造一个同样长为 $N$ 的新组合键，然而这一新组合键由按键连击所组成，以适应规则的变化。

Bessie 需要消耗 $a_{ij}$ 天来训练她在组合键中某个特定的位置用按键 $j$ 来取代按键 $i$（也就是说，将 $S$ 中的某个特定的字符由 $i$ 变为 $j$ 的代价为 $a_{ij}$）。注意有可能将按键 $i$ 换成某种中间按键 $k$ 然后再从按键 $k$ 换成按键 $j$ 会比直接从按键 $i$ 换成按键 $j$ 消耗更短的时间（或者更一般地说，可能有一条起点为 $i$ 终点为 $j$ 的更改路径给出了从按键 $i$ 最终更改为按键 $j$ 的最小总代价）。

帮助 Bessie 求出她创建一个满足新要求的组合键所需要的最小天数。

输入格式

输入的第一行包含 $N$，$M$ 和 $K$。第二行包含 $S$，最后 $M$ 行包含一个 $M\times M$ 的数字方阵 $a_{ij}$，其中 $a_{ij}$ 为一个范围为 $0\dots 1000$ 的整数，并且对于所有的 $i$，有 $a_{ii}=0$。

输出格式

输出一个整数，表示 Bessie 将她的组合键改为一个满足新要求的新的组合键所需要的最小天数。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5 2
abcde
0 1 4 4 4
2 0 4 4 4
6 5 0 3 2
5 5 5 0 4
3 7 0 5 0

输出 #1

5

说明/提示

在这个例子中的最优方案是将 a 改为 b，将 d 改为 e，再将两个 e 都改为 c。这总共消耗 $1+4+0+0=5$ 天，最终的组合键为 bbccc。

测试点性质：

测试点 $2\sim 4$ 满足 $N\le 1000$，$K\le 50$。

测试点 $5\sim 8$ 满足 $N\le 3\times 10^4$，$K\le 50$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le M\le 26$，$1\le K\le N\le 10^5$。

供题：Eric Wei

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思路：

先跑floyd
可以考虑DP，设$f_{i,j}$为到第$i$位，第$i$位为$j$的最短时间。
然后可以发现第二维可以不用管。
因为要保证连续$k$个相同的键，所以在DP到$i$时，将$i-k$加入维护数组。
每次维护数组的更新就是在，自身+当前位变为$j$的代价，和，$f_{i-k}+cost(i-k+1$ ~$i)$，之间的最小。

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code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>#define ll long longusing namespace std;const ll MAXN = 1e5 + 5;ll n, m, K;
char s[MAXN];
ll a[30][30];
ll f[MAXN], ls[MAXN][30], q[MAXN];int main() {scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &K);scanf("%s", s + 1);for(ll i = 1; i <= m; i ++)for(ll j = 1; j <= m; j ++) scanf("%lld", &a[i][j]);for(ll k = 1; k <= m; k ++)for(ll i = 1; i <= m; i ++)for(ll j = 1; j <= m; j ++)if(i != j && j != k && k != i) if(a[i][j] > a[i][k] + a[k][j]) a[i][j] = a[i][k] + a[k][j];for(ll i = 1; i <= m; i ++)for(ll j = 1; j <= n; j ++)ls[j][i] = ls[j - 1][i] + a[s[j] - 'a' + 1][i];memset(f, 1, sizeof(f));memset(q, 1, sizeof(q));f[0] = 0;for(int i = K; i <= n; i ++)for(int j = 1; j <= m; j ++) {q[j] = min(q[j] + a[s[i] - 'a' + 1][j], f[i - K] + ls[i][j] - ls[i - K][j]);f[i] = min(f[i], q[j]);}printf("%lld", f[n]);return 0;
}