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四元数欧拉角

news 来源：原创 2025/6/9 7:32:42

orientation 是表示物体在三维空间中的 旋转姿态 的数据结构。它通常使用 四元数（Quaternion） 来表示旋转。四元数是一种数学工具，用于描述三维空间中的旋转，相比欧拉角（Euler Angles）和旋转矩阵，四元数具有以下优点：

避免万向节死锁（Gimbal Lock）。
插值平滑，适合动画和插值计算。
计算效率高，适合实时计算。

四元数的结构

四元数由 4 个分量组成：x, y, z, w。在你的代码中：

orientation: {
  x: 0,
  y: 0,
  z: 0,
  w: 1,
}

x, y, z：表示旋转轴的向量分量。
w：表示旋转的角度（通过余弦和正弦函数计算得出）。

四元数的含义

默认值：
- 当 x: 0, y: 0, z: 0, w: 1 时，表示 没有旋转，即物体的方向是默认的初始方向。

旋转表示：

四元数可以表示绕任意轴的旋转。例如：

绕 X 轴旋转 90 度：

orientation: {
  x: Math.sin(Math.PI / 4), // sin(45°)
  y: 0,
  z: 0,
  w: Math.cos(Math.PI / 4), // cos(45°)
}

绕 Y 轴旋转 180 度：

orientation: {
  x: 0,
  y: Math.sin(Math.PI / 2), // sin(90°)
  z: 0,
  w: Math.cos(Math.PI / 2), // cos(90°)
}

单位四元数：
- 四元数通常是单位四元数，即满足 x² + y² + z² + w² = 1。
- 单位四元数可以确保旋转的正确性和稳定性。

四元数的应用场景

3D 图形学：
- 在 3D 图形学中，四元数用于表示物体的旋转姿态。
- 例如，在游戏引擎（如 Unity、Unreal Engine）中，物体的旋转通常用四元数表示。
机器人学：
- 在机器人学中，四元数用于表示机器人末端执行器的姿态。
传感器数据：
- 在惯性测量单元（IMU）或 VR/AR 设备中，四元数用于表示设备的旋转姿态。

四元数与欧拉角的转换

虽然四元数更适合计算，但欧拉角（如 roll, pitch, yaw）更直观。因此，在实际开发中，常常需要在四元数和欧拉角之间进行转换。

四元数转欧拉角：

通过数学公式将四元数转换为欧拉角。

例如：

const roll = Math.atan2(2 * (w * x + y * z), 1 - 2 * (x * x + y * y));
const pitch = Math.asin(2 * (w * y - z * x));
const yaw = Math.atan2(2 * (w * z + x * y), 1 - 2 * (y * y + z * z));

欧拉角转四元数：

通过欧拉角计算四元数。

例如：

const cy = Math.cos(yaw * 0.5);
const sy = Math.sin(yaw * 0.5);
const cp = Math.cos(pitch * 0.5);
const sp = Math.sin(pitch * 0.5);
const cr = Math.cos(roll * 0.5);
const sr = Math.sin(roll * 0.5);

const orientation = {
  x: sr * cp * cy - cr * sp * sy,
  y: cr * sp * cy + sr * cp * sy,
  z: cr * cp * sy - sr * sp * cy,
  w: cr * cp * cy + sr * sp * sy,
};