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椭圆曲线的数学基础

news 2025/9/2 14:08:39

一、引言

椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是现代公钥密码学的核心工具之一。
相比传统的 RSA，ECC 可以用 更短的密钥长度 提供 同等甚至更高的安全性，因此被广泛应用于区块链、TLS、移动设备加密等场景。

要理解 ECC，必须先了解它背后的数学结构 —— 椭圆曲线上的点运算。本文将从基础开始，逐步介绍椭圆曲线的数学原理。

二、椭圆曲线方程

一个椭圆曲线通常由如下方程表示：

$y^2 = x^3 + ax + b$

其中 $a, b$ 是常数，要求曲线 无奇异点（即没有自相交和尖点），满足：

$4a^3 + 27b^2 \neq 0$

在实数范围内，这条曲线看起来像一条光滑的对称曲线：

关于 x 轴对称
呈“S”形或“波浪”形

但在密码学中，我们不会在实数范围上研究，而是定义在 有限域 $Fp\mathbb{F}_p$ （模素数 $p$ ）上的椭圆曲线。

三、有限域上的椭圆曲线

在有限域中，所有运算都取模 $p$ ：

$y^2 \equiv x^3 + ax + b \pmod p$

例如：
选择 $p = 17, a = 2, b = 2$ ，曲线为：

$y^2 \equiv x^3 + 2x + 2 \pmod{17}$

我们可以枚举 $\in [0,16]$ ，找到满足条件的点 $(x, y)$ ，这就是曲线上的点集。

四、点运算（群结构）

ECC 的核心不是曲线方程本身，而是 曲线点上的运算规则。
椭圆曲线上的点（包括一个“无穷远点” $O$ ）形成一个群，支持以下运算：

点加法 $P + Q$
- 几何直观：过两点作直线，直线与曲线相交于第三点 $R$ ，再取 $R$ 关于 x 轴的对称点。
- 特殊情况： $P = Q$ 时，用切线定义加法。
点倍乘 $k P$
- 相当于 $P + P + ... + P$ （共 $k$ 次）。
- 在 ECC 中，公钥计算就是 点倍乘。

五、ECC 的安全性来源

容易：给定 $P$ 和整数 $k$ ，计算 $Q = k P$ 很快。
困难：给定 $P$ 和 $Q$ ，求 $k$ 很难（椭圆曲线离散对数问题，ECDLP）。

这种 单向性 是 ECC 的安全核心。

六、Go 语言小实验：有限域椭圆曲线点加法

下面我们用 Go 写一个小程序，在有限域 $p = 17$ 上实现椭圆曲线点加法。

package mainimport ("fmt""math/big"
)// 椭圆曲线参数: y^2 = x^3 + ax + b mod p
var p = big.NewInt(17)
var a = big.NewInt(2)
var b = big.NewInt(2)// 点结构
type Point struct {x, y *big.Intinf  bool // 是否是无穷远点
}// 取模
func mod(v *big.Int) *big.Int {r := new(big.Int).Mod(v, p)if r.Sign() < 0 {r.Add(r, p)}return r
}// 逆元
func modInverse(v *big.Int) *big.Int {return new(big.Int).ModInverse(v, p)
}// 点加法
func add(P, Q Point) Point {// 处理无穷远点if P.inf {return Q}if Q.inf {return P}var m *big.Intif P.x.Cmp(Q.x) == 0 && P.y.Cmp(Q.y) == 0 {// P == Q, 切线斜率num := new(big.Int).Mul(big.NewInt(3), new(big.Int).Mul(P.x, P.x))num.Add(num, a)den := new(big.Int).Mul(big.NewInt(2), P.y)m = new(big.Int).Mul(num, modInverse(den))} else {// P != Q, 直线斜率num := new(big.Int).Sub(Q.y, P.y)den := new(big.Int).Sub(Q.x, P.x)m = new(big.Int).Mul(num, modInverse(den))}m = mod(m)xr := mod(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Mul(m, m), P.x), Q.x))yr := mod(new(big.Int).Sub(new(big.Int).Mul(m, new(big.Int).Sub(P.x, xr)), P.y))return Point{xr, yr, false}
}func main() {P := Point{big.NewInt(5), big.NewInt(1), false}Q := Point{big.NewInt(6), big.NewInt(3), false}R := add(P, Q)fmt.Printf("P=(%v,%v), Q=(%v,%v)\n", P.x, P.y, Q.x, Q.y)fmt.Printf("P+Q=(%v,%v)\n", R.x, R.y)
}