奇偶破题：当反函数撞上奇函数

一个看似复杂的复合函数最值问题，如何被奇函数性质3秒破防？

🎯 问题描述

原题（2020复旦大学强基计划）记 $f(x)=3^x-3^{-x}$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$，则 $g(x)=f^{-1}(x-1)+1$ 在 $[-3,5]$ 上的最大值与最小值的和为______．（答案见文末）

题目特征扫描：
✅复合函数套餐：$g(x)$=反函数$f^{-1}$(平移$x-1$)$+1$
✅区间捆绑：限定在$[-3,5]$求最值之和
✅隐藏Buff：$f(x)$自带「单调且奇」的双重属性！

🔍 破题思路

第一眼直觉：直接算$g(-3)$和$g(5)$？但反函数$f^{-1}(x)$解析式难求！（$3^x$和$3^{-x}$混合的方程求解头秃警告⚠️）

神转折点：当我们意识到$f(x)$是单调递增的奇函数 时（敲黑板！）：

• 单调性 → $g(x)$必然单调 → 最值在区间端点取到（💡单调函数在闭区间的最值永远在端点！）

• 奇函数 → 反函数$f^{-1}$也被传染为奇函数！ → 从此计算开启躺赢模式！

当$f(x)$叉腰说：“我可是严格单调增的奇函数！”
反函数$f^{-1}$立马敬礼：“报告！我保证保持奇函数传承！”

📐 关键推导（严格保持原解答推理）

Step 1：证明 $f^{-1}(x)$ 的奇函数性

∵ $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增的奇函数且值域为 $\mathbf{R}$
∴ $f^{-1}(x)$ 也是 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增函数

奇函数性质证明：

因为 $f(f^{-1}(-x))=-x=-f(f^{-1}(x))=f(-f^{-1}(x))$，
又 $f(x)$ 严格单调，故 $f^{-1}(-x)=-f^{-1}(x)$．
∴ $f^{-1}(x)$ 也是奇函数．

Step 2：确定 $g(x)$ 单调性

∵ $f^{-1}(x)$ 严格单调递增 → $x-1$ 是线性变换 → $+1$ 是平移
∴ $g(x)=f^{-1}(x-1)+1$ 是严格单调递增函数．

重要推论：
在闭区间$[-3,5]$上，
最大值 $M=g(5)$，最小值 $m=g(-3)$．
∴ $M+m=g(5)+g(-3)$

Step 3：奇函数性质降维打击

展开 $g(5)+g(-3)$：
$$\begin{array}{rl}g(5)+g(-3)& =\left[f^{-1}(5-1)+1\right]+\left[f^{-1}(-3-1)+1\right]\\ & =\left[f^{-1}(4)+1\right]+\left[f^{-1}(-4)+1\right]\\ & =\underset{\text{奇函数归零}}{\underbrace{f^{-1}(4)+f^{-1}(-4)}}+2\\ & =0+2=2\end{array}$$
⚠️ 此处核心：奇函数性质使 $f^{-1}(-4)=-f^{-1}(4)$ → 和式直接归零！

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答案揭晓：原题所求最大值与最小值的和是 $\boxed{2}$．

💎 总结归纳

通用解题策略

• 识别函数属性：遇到 $f(x)=a^x-a^{-x}$ 形式→必为奇函数，且当$a>0,a\ne 1$时严格单调．
• 反函数性质继承：原函数的单调性、奇偶性会完美遗传给反函数！
• 区间最值简化：单调函数在闭区间的最值→永远在端点取到，直接计算端点值！
• 奇函数核武器：见到 $h(x)+h(-x)$ 形式→优先验证奇偶性，奇函数可直接得 $h(-x)+h(x)=0$．

🥚 课后彩蛋

思考题：若 $f(x)=2^x+2^{-x}$，$g(x)=f^{-1}(x+2)-2$，则 $g(3)-g(-7)=$______？
（提示：偶函数的反函数是什么形态？定义域有何陷阱？）