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[信号与系统个人笔记]第三章连续时间信号与系统的频域分析

news 2025/9/4 5:12:42

Update

2025.8.31
- 3.1 连续时间周期信号的傅里叶级数

3.1连续时间周期信号的傅里叶级数

狄利克雷条件：
$\begin{align} &在一个周期内 : \begin{cases} 函数连续或只有有限个第一类间断点\\ \\ 有有限个极大、极小值\\ \\ 函数绝对可积 \end{cases} \end{align}$

三角形式的傅里叶级数

三角形式傅里叶级数的定义

给定周期为 $T$ 的周期信号 $f (t)$ ，当满足狄利克雷条件时，可以表示为 $t_{0},t_{0}+T)$ 上的完备正交函数集合 $(n→∞,Ω=2πT)\{ 1,\cos n\Omega t,\sin n\Omega t \}\ \left( n\to \infty,\Omega=\frac{2\pi}{T} \right)$ 中各个函数的线性组合：
$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos n\Omega t+b_{n}\sin n\Omega t)$
其中：

直流分量： $a02\frac{a_{0}}{2}$
$n$ 次余弦分量： $ancos⁡nΩta_{n}\cos n\Omega t$ ， $n$ 次正弦分量： $bnsin⁡nΩtb_{n}\sin n\Omega t$
基波角频率： $Ω=2πT\Omega=\frac{2\pi}{T}$
基波频率： $f=1Tf=\frac{1}{T}$
$\begin{align} &\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt\\ \\ &a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos n\Omega tdt\\ \\ &b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin n\Omega tdt \end{align}$

三角级数的直流、基波、谐波分量

同频率项合并：(辅助角)
$\begin{align} &f(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos(n\Omega t+\varphi_{n})\\ \\ &其中:\\ \\ &A_{0}=a_{0},A_{n}=\sqrt{ a_{n}^{2}+b_{n}^{2} },\varphi_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}\\ \\ &a_{n}=A_{n}\cos \varphi_{n},b_{n}=-A_{n}\sin \varphi_{n} \end{align}$
上式表明：任何满足狄利克雷条件的周期信号都可以分解为直流分量，基波分量和无穷多项谐波分量之和。其中各次谐波分量的角频率必然是基波频率的整数倍
$\begin{align} &直流分量:\frac{A_{0}}{2}=\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt\\ \\ &基波分量(n=1):A_{1}\cos(\Omega t+\varphi_{1})\\ \\ &n次谐波分量(n\neq 1):A_{n}\cos(n\Omega t+\varphi_{n}) \end{align}$
$f (t) = 直流 + 基波 + 谐波$

傅里叶系数的奇偶性

将系数视为谐波次数 $n$ 或者 $n$ 倍基波角频率 $nΩn\Omega$ 的函数，以 $n$ 或者 $nΩn\Omega$ 为自变量进行分析：
$\begin{align} &a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos n\Omega tdt\quad a_{-n}=a_{n}\quad 为n的偶函数\\ \\ &b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin n\Omega tdt\quad b_{-n}=-b_{n}\quad 为n的奇函数\\ \\ &A_{n}=\sqrt{ a_{n}^{2}+b_{n}^{2} }\quad A_{-n}=A_{n}\quad 为n的偶函数\\ \\ &\varphi_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}\quad \varphi_{-n}=-\varphi_{n}\quad 为n的奇函数 \end{align}$

信号的对称性与傅里叶系数的关系

信号为 $t$ 的偶函数

$f(t)cos⁡nΩtf(t)\cos n\Omega t$ 为偶函数， $f(t)sin⁡nΩtf(t)\sin n\Omega t$ 为奇函数
$an=2T∫−T2T2f(t)cos⁡nΩtdt=4T∫0T2f(t)cos⁡nΩtdta_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt$
$bn=2T∫−T2T2f(t)sin⁡nΩtdt=0b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt=0$
此时，傅里叶级数不包含正弦项： $f(t)=a02+∑n=1∞ancos⁡nΩtf(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos n\Omega t$

信号为 $t$ 的奇函数

$f(t)cos⁡nΩtf(t)\cos n\Omega t$ 为奇函数， $f(t)sin⁡nΩtf(t)\sin n\Omega t$ 为偶函数
$an=2T∫−T2T2f(t)cos⁡nΩtdt=0a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt=0$
$bn=2T∫−T2T2f(t)sin⁡nΩtdt=4T∫0T2f(t)sin⁡nΩtdtb_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt$
此时，傅里叶级数不包含直流和余弦项： $f(t)=∑n=1∞bnsin⁡nΩtf(t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin n\Omega t$

信号为半波对称函数

$f(t)=f(t±T2)f(t)=f\left( t\pm \frac{T}{2} \right)$ 信号沿时间轴平移半个周期以后与原波形完全重合
$\Omega=\frac{2\pi}{T}\implies \Omega'=\frac{2\pi}{\frac{T}{2}}=\frac{4\pi}{T}=2\Omega$

信号实际周期为 $T2\frac{T}{2}$ ， $2Ω2\Omega$ 为实际的基波角频率，故只含有 $Ω\Omega$ 的偶次谐波
此时傅里叶级数只含有偶次谐波，不含奇次谐波，又称为偶谐函数
此处的偶谐函数是相对于原函数而言的，因为实际上可以直接令 $T′=T2T'=\frac{T}{2}$

信号为半波镜像对称函数

$f(t)=−f(t±T2)f(t)=-f\left( t\pm \frac{T}{2} \right)$ 信号平移半个周期以后与原波形关于横轴对称

$\begin{align} &a_{0}=a_{2}=\dots=a_{2n}=b_{0}=b_{2}=\dots=b_{2n}=0\\ \\ &a_{1},a_{3},\dots,a_{2n+1},b_{1},b_{3},\dots,b_{2n+1}\neq 0 \end{align}$

此时傅里叶级数只含有奇次谐波，不含偶次谐波，又称为奇谐函数

任意信号分解为偶分量和奇分量之和

$\frac{f(t)+f(-t)}{2}+ \frac{f(t)-f(-t)}{2}=f_{ev}(t)+f_{od}(t)$
其中：

$ev→even,od→oddev\to even,od\to odd$
偶分量： $fev(t)=f(t)+f(−t)2f_{ev}(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}$
奇分量： $fod(t)=f(t)−f(−t)2f_{od}(t)= \frac{f(t)-f(-t)}{2}$

指数形式的傅里叶级数

指数形式的傅里叶级数的定义

给定周期为 $T$ 的周期信号 $f (t)$ ，当它满足狄利克雷条件时，可以表示为 $t_{0},t_{0}+T)$ 上完备正交函数集合 ${ejnΩt}(n→∞,Ω=2πT)\{ e^{jn\Omega t} \}\left( n\to \infty,\Omega=\frac{2\pi}{T} \right)$ 中各个函数的线性组合：
$\begin{align} &f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}\\ \\ &F_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-jn\Omega t}dt \end{align}$
指数形式傅里叶级数中出现了负频率，负频率没有实际的物理意义，它的出现完全是采用复指数信号集合表示周期信号的结果，是数学分析的过程，当正负频率合并在一起的时候才能合成实际的频率分量

指数形式与三角形式傅里叶系数的关系

$\begin{align} F_{n}&=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-jn\Omega t}dt=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos n\Omega tdt-j \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin n\Omega tdt\\ \\ &=\frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n})\\ \\ F_{-n}&=\frac{1}{2}(a_{-n}-jb_{-n})=\frac{1}{2}(a_{n}+jb_{n})\\ \\ \implies&\begin{cases} a_{n}=F_{n}+F_{-n}\\ \\ b_{n}=j(F_{n}-F_{-n}) \end{cases} \end{align}$

对于复数 $F_{n}$ ，可以转换为 $Fn=∣Fn∣⋅ej⋅∠FnF_{n}=|F_{n}|\cdot e^{j\cdot\angle F_{n}}$
$\begin{align} &|F_{n}|=\frac{1}{2}\sqrt{ a_{n}^{2}+b_{n}^{2} }=\frac{1}{2}A_{n}\ ,\ |F_{n}|=|F_{-n}|\quad 为n的偶函数\\ \\ &\angle F_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}=\varphi_{n}\ ,\ \varphi_{-n}=-\varphi_{n}\quad 为n的奇函数\\ \\ &\therefore F_{n}=\frac{1}{2}A_{n}e^{j\varphi_{n}} \end{align}$

例

求图示周期信号的指数形式傅里叶级数

$\begin{align} &T=3,\Omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{3}\\ \\ F_{n}&=\frac{1}{T}\int_0^{T}f(t)e^{-jn\Omega t} dt=\frac{1}{3}\left[ 2\int_{0}^{2}e^{-jn\Omega t}dt-\int_{2}^{3}e^{-jn\Omega t}dt \right]\\ \\ &=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{j\cdot3n\Omega}e^{-jn\Omega t}\bigg|_{0}^{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{-j\cdot n\Omega}e^{-jn\Omega t}\bigg|_{2}^{3}\\ \\ &=\frac{2-3e^{-j\cdot 2n\Omega}+e^{-j\cdot 3n\Omega}}{j\cdot 3n\Omega}\\ \\ &将\Omega=\frac{2\pi}{3}代入得:\\ \\ 原式&=\frac{2-3e^{-j\cdot \frac{4\pi}{3}n}+e^{-j\cdot 2\pi n}}{j\cdot 2\pi n}\\ \\ &由于e^{-j\cdot 2\pi n}=\cos_{}2\pi n-j\cdot \sin 2\pi n=1:\\ \\ 原式&=\frac{3}{j\cdot 2\pi n}\left( 1-e^{j\cdot \frac{4\pi}{3}n} \right)\\ \\ &\therefore f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{3}{j\cdot 2\pi n}\left( 1-e^{j\cdot \frac{4\pi}{3}n} \right)e^{jn \frac{2\pi}{3}t} \end{align}$