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【LeetCode 热题 100】62. 不同路径——（解法四）组合数学

news 2025/9/1 12:15:44

Problem: 62. 不同路径

文章目录

整体思路
完整代码
时空复杂度
- 时间复杂度：O(min(m, n))
- 空间复杂度：O(1)

整体思路

这段代码旨在解决 “不同路径” 问题，但它采用的是一种与动态规划完全不同的 组合数学 (Combinatorics) 方法。这种方法将问题从一个路径计数问题，抽象成了一个排列组合问题，从而可以直接通过数学公式进行计算，效率极高。

问题重构：
- 要从 m x n 网格的左上角 (0,0) 移动到右下角 (m-1, n-1)，机器人必须且只能向下移动 m-1 步，向右移动 n-1 步。
- 因此，无论走哪条路径，总的移动步数是固定的，即 (m-1) + (n-1) = m + n - 2 步。
- 任何一条有效的路径，都可以看作是这 m + n - 2 步的一个序列，其中包含了 m-1 个“向下”和 n-1 个“向右”。
组合数学模型：
- 问题现在转化为：在一个总长度为 m + n - 2 的序列中，选择 m-1 个位置放置“向下”的移动（剩下的位置自然就是“向右”），总共有多少种不同的选择方法？
- 这正是一个经典的组合问题，可以用组合数公式 C(n, k) 来表示，即“从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数”。
- 在这里，n = m + n - 2（总步数），k = m - 1（选择向下移动的步数）。
- 所以，路径的总数 = C(m + n - 2, m - 1)。
组合数公式的计算：
- 组合数公式为: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
- 代入我们的变量：C(m+n-2, m-1) = (m+n-2)! / ((m-1)! * (n-1)!)。
- 直接计算阶乘可能会导致非常大的中间数，从而轻易地超出 long 类型的范围，导致溢出。
- 因此，代码采用了一种更聪明的迭代计算方式来求解组合数。
- C(m+n-2, m-1)可以展开为：
  [(m+n-2) * (m+n-3) * ... * (n)] / [(m-1) * (m-2) * ... * 1]
- 代码中的循环 for (int i = 1; i <= m - 1; i++) 正是实现了这个展开式。在每次迭代中：
  - ans 乘以 (n - 1 + i)，这对应了分子中的一项。
  - ans 除以 i，这对应了分母中的一项。
- ans = ans * (n - 1 + i) / i; 这种交替进行乘法和除法的方式，可以有效地保持中间结果 ans 尽可能小，从而避免溢出。同时，由于组合数必然是整数，这里的除法也保证是整除。
数据类型：
- 使用 long 类型的 ans 变量是为了防止在计算过程中，即使交替乘除，中间结果也可能超出 int 的范围。

完整代码

class Solution {/*** 计算从 m x n 网格的左上角到右下角的不同路径数（组合数学法）。* @param m 网格的行数* @param n 网格的列数* @return 不同的路径总数*/public int uniquePaths(int m, int n) {// ans 用于存储计算结果。使用 long 类型防止中间过程溢出。// 初始化为 1，因为 1 是乘法单位元。long ans = 1;// 该循环用于计算组合数 C(m+n-2, m-1)。// 循环 m-1 次，对应组合数公式展开后的 m-1 项。for (int i = 1; i <= m - 1; i++) {// 核心计算步骤：ans = ans * (分子项) / (分母项)// 分子项从 n 开始，递增 m-1 次，即 n, n+1, ..., n+m-2//   在循环中，当 i=1, (n-1+i) = n; 当 i=m-1, (n-1+i) = n+m-2// 分母项是 (m-1)!，即 1, 2, ..., m-1//   在循环中，i 恰好遍历了 1, 2, ..., m-1ans = ans * (n - 1 + i) / i;}// 将最终的 long 类型结果强制转换为 int 并返回。// 题目的约束保证最终结果不会超出 int 范围。return (int) ans;}
}

时空复杂度

时间复杂度：O(min(m, n))

循环：算法的核心是一个 for 循环，它从 i = 1 遍历到 m-1。
计算依据：
- 循环的执行次数是 m-1 次。因此，时间复杂度为 O(m)。
- 优化说明：根据组合数的性质 C(n, k) = C(n, n-k)，我们可以选择计算 C(m+n-2, m-1) 或 C(m+n-2, n-1)。为了使循环次数最少，我们应该选择 min(m-1, n-1) 作为循环的次数。因此，一个更优化的实现的时间复杂度是 O(min(m, n))。
- 尽管当前代码固定为 O(m)，但其本质是线性的，并且可以轻松优化到 O(min(m, n))。