P5304 [GXOI/GZOI2019] 旅行者

题目大意

给定 $n$（$1\le n\le 10^5$） 个顶点 $m$ （$1\le m\le 5\times 10^5$）条单向边，每条边都有一定的权值 $w$。然后，再给定 $k$ （$1\le k\le n$）个特殊点。求出 $k$ 个顶点之间两两最短路的最小值。

分析

暴力做法

$k$ 个顶点，以每个顶点作为起点跑一遍最短路，然后枚举。时间复杂度为 $O(km\log n+n^2)$。

优化

在面对有多个起点的最短路问题时，比较适用的方法是，建立一个虚拟源起点用边权为 0 的边去连接它们。这样，就变为了一个只有一个起点的问题。
但由于，在此问题中，$k$ 个顶点不仅是起点，也是终点。所以，到达它们的最短路长度一定为 0。只有次短路，才是起点通过一些边到达终点的有效路径。不过，这也可能会出现起点与终点相同的情况。因此，我们要完成的任务是求解出的是从 $k$ 个顶点出发，到达其它顶点，且起点与终点不同的次长路长度。
设从 $k$ 个起点出发到达顶点 $G$ 的起点与终点不同的次长路方案为：
{ a 1 , a 2 , . . . , a s , G } \{a_1,a_2,...,a_s,G\} {a1​,a2​,...,as​,G}
能够保证的是 $a_2,a_3,...,a_s$ 它们不可能是 $k$ 个顶点的其中一个顶点。当 $a_s=i$ （$i$ 是 $G$ 的邻接点），方案变为 { a 1 , a 2 , . . . , a s − 1 , i , G } \{a_1,a_2,...,a_{s-1},i,G\} {a1​,a2​,...,as−1​,i,G}
方案的属性：

1. 目的地。子方案的目的地变为 $i$。
2. 路径长度。原方案的路径长度为子方案的路径长度 + $w(i,G)$。由于，原方案求解的是次短路。因此，子方案的路径长度求解的是最短路或次短路。
3. 起点。不能是顶点 $G$。

所以，子方案反映的问题为：起点不能是顶点 $G$ ，目的地是 $i$ 的最短路和次短路。

但是，对于顶点 $i$ 来说，它可以是很多顶点的邻接点。因此，这将产生：起点不能是顶点 $G_1$、$G_2$、$G_3$、…、$G_k$ ，目的地是 $i$ 的最短路和次短路的问题。即使该求解能够完成，时间复杂度也至少达到 $O(n^2)$。

思维点

由于，到达 $G$ 的最短路径一定为 0，已经被确定。那么实际上，我们只需要求出起点不能是顶点 $G_1$、$G_2$、$G_3$、…、$G_k$ ，目的地是 $i$ 的最短路问题。

而上述 $k$ 个问题，实际上只需要两个问题就能完成求解。

1. 目的地是 $i$ 的最短路问题。（假设它的起点是 $G1$，那么它与其它 “起点是 $G_2,G_3,...,G_k$” 的结果是相同的）
2. 目的地是 $i$ 但起点与最短路不同的的次短路径问题。

示例程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node {
	int to;
	long long val;
	int flag;
	bool operator< (const node& n) const {
		return val>n.val;
	}
};
const int N=1e5+10;
vector<node> G[N];
long long dis[N][2];
int vis[N][2],col[N],who[N][2];
int main() {
	int t;
	cin>>t;
	while (t--) {
		int n,m,k;
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
		for (int i=1; i<=n; i++) {
			G[i].clear();
			dis[i][0]=dis[i][1]=1e18;
			vis[i][0]=vis[i][1]=0;
			who[i][0]=who[i][1]=0;
			col[i]=0;
		}
		for (int i=1; i<=m; i++) {
			int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			G[x].push_back({y,z,0});
		}
		priority_queue<node> PQ;
		for (int i=1; i<=k; i++) {
			int x; cin>>x;
			col[x]=1;
			dis[x][0]=0;
			who[x][0]=x;
			PQ.push({x,0,0});
		}
		long long res=-1;
		while (!PQ.empty()) {
			node p=PQ.top();
			PQ.pop();
			if (col[p.to]&&who[p.to][p.flag]!=p.to) {
				res=p.val;
				break;
			}
			if (vis[p.to][p.flag]) continue;
			vis[p.to][p.flag]=1;
			int s=who[p.to][p.flag];
			for (int i=0; i<G[p.to].size(); i++) {
				int v=G[p.to][i].to;
				long long val=p.val+G[p.to][i].val;
				if (val<=dis[v][0]) {
					if (who[v][0]==s) {
						dis[v][0]=val;
					} else {
						dis[v][1]=dis[v][0];
						who[v][1]=who[v][0];
						dis[v][0]=val;
						who[v][0]=s;
						PQ.push({v,dis[v][1],1});
					}
					PQ.push({v,val,0});
					
				} else if (val<dis[v][1]) {
					if (who[v][0]!=s) {
						dis[v][1]=val;
						who[v][1]=s;
						PQ.push({v,val,1});
					}
				}
			}
		}
		cout<<res<<"\n";
	}
	return 0;
}