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算法——Z函数

news 来源：原创 2025/6/10 4:59:01

在不同的数学和计算机科学等领域，“Z函数”可能有不同的含义，以下是一些常见的关于Z函数的解释：

数论中的Zeta函数（黎曼Zeta函数）

定义：黎曼Zeta函数(\zeta(s))是定义在复数域上的函数，对于(s = \sigma + it)（(\sigma)和(t)为实数），当(\sigma>1)时，(\zeta(s))由无穷级数(\zeta(s)=\sum_{n = 1}^{{\infty}\frac{1}{n}{s}})给出。
性质
- 解析延拓：黎曼Zeta函数可以通过解析延拓到整个复平面，除了(s = 1)处有一个简单极点。
- 函数方程：黎曼Zeta函数满足著名的函数方程(\zeta(s)=2^s\pi{s - 1}\sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1 - s)\zeta(1 - s))，它揭示了(\zeta(s))在(s)和(1 - s)处的关系。
- 特殊值：当(s = 2)时，(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{1}{n}{2}}=\frac{\pi^{2}}{6})。当(s=-2n)（(n)为正整数）时，(\zeta(-2n)=0)，这些点被称为平凡零点。
重要意义：黎曼Zeta函数与素数分布有着密切的联系，黎曼假设就是关于(\zeta(s))的非平凡零点的分布问题，即黎曼Zeta函数的所有非平凡零点都位于直线(\sigma=\frac{1}{2})上，这是数学中最重要的未解决问题之一。

def riemann_zeta(s, num_terms=1000):
    """
    计算黎曼Zeta函数的近似值
    :param s: 复数，要求其实部大于1
    :param num_terms: 级数的项数
    :return: 黎曼Zeta函数的近似值
    """
    result = 0
    for n in range(1, num_terms + 1):
        result += 1 / (n ** s)
    return result

# 测试方法
def test_riemann_zeta():
    s = 2
    zeta_value = riemann_zeta(s)
    # 理论值
    theoretical_value = (3.141592653589793 ** 2) / 6
    print(f"当s = {s}时，黎曼Zeta函数的近似值: {zeta_value}")
    print(f"理论值: {theoretical_value}")

test_riemann_zeta()

字符串处理中的Z函数

定义：对于一个长度为(n)的字符串(S)，其(Z)函数(Z[i])定义为字符串(S)中以(i)位置开始的最长子串，该子串同时也是(S)的前缀的长度。其中(i)的取值范围是(1\leq i\leq n)。特别地，(Z[1]=n)，因为整个字符串(S)本身就是以位置(1)开始的，同时也是(S)的前缀。
计算方法：通常可以使用线性时间复杂度的算法来计算字符串的(Z)函数，如经典的Z算法。该算法利用已经计算出的(Z)值来快速计算后续的(Z)值，通过不断地比较字符和更新边界等操作，在一次遍历字符串的过程中就可以计算出所有的(Z)值。
应用
- 字符串匹配：可以用于在一个文本字符串中快速查找某个模式字符串的所有出现位置。
- 重复子串检测：帮助找出字符串中的重复子串，例如判断一个字符串是否是由某个子串重复多次组成等。

def z_function(s):
    """
    计算字符串的Z函数
    :param s: 输入的字符串
    :return: Z函数列表
    """
    n = len(s)
    z = [0] * n
    z[0] = n
    l, r = 0, 0
    for i in range(1, n):
        if i <= r:
            z[i] = min(r - i + 1, z[i - l])
        while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
            z[i] += 1
        if i + z[i] - 1 > r:
            l = i
            r = i + z[i] - 1
    return z

# 测试方法
def test_z_function():
    s = "abcabcabc"
    z = z_function(s)
    print(f"字符串 {s} 的Z函数值: {z}")

test_z_function()

复变函数中的Z变换

定义：(Z)变换是对离散序列进行的一种数学变换，常用于求线性时不变差分方程的解。对于离散序列(x[n])，其(Z)变换定义为(X(z)=\sum_{n = -\infty}^{{\infty}x[n]z}{-n})，其中(z)是一个复变量。
收敛域：(Z)变换的收敛域是使得上述级数收敛的(z)的取值范围。不同的离散序列可能有不同的收敛域，收敛域的确定对于分析(Z)变换的性质和求解反(Z)变换非常重要。
性质
- 线性性质：(Z{a x[n]+b y[n]}=a X(z)+b Y(z))，其中(a)、(b)为常数。
- 时移性质：(Z{x[n - k]}=z^{-k}X(z))。
应用
- 信号处理：在数字信号处理中，(Z)变换用于分析离散时间系统的特性，如滤波器的设计和分析等。
- 控制系统：在离散控制系统的分析和设计中有着重要应用，可用于求解差分方程描述的系统的响应等。

import numpy as np

def z_transform(x, z):
    """
    计算离散序列的单边Z变换
    :param x: 离散序列
    :param z: 复变量
    :return: Z变换的结果
    """
    n = len(x)
    result = 0
    for i in range(n):
        result += x[i] * (z ** (-i))
    return result

# 测试方法
def test_z_transform():
    x = [1, 2, 3]
    z = 2 + 1j
    X = z_transform(x, z)
    print(f"序列 {x} 在 z = {z} 处的Z变换值: {X}")

test_z_transform()