高等数学 8.4 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程

空间直线 $L$ 可以看做是两个平面 ${\Pi }_1$ 和 ${\Pi }_2$ 的交线。如果两个相交的平面 ${\Pi }_1$ 和 ${\Pi }_2$ 的方程分别为 $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ 和 $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$ ，那么直线 $L$ 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面方程，即应满足方程组
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(4-1)}$$
反过来，如果点 $M$ 不在直线 $L$ 上，那么它不可能同时在平面 ${\Pi }_1$ 和 ${\Pi }_2$ 上，所以它的坐标不满足方程组 $(4-1)$ 。因此，直线 $L$ 可以用方程组 $(4-1)$ 来表示。方程组 $(4-1)$ 叫做 空间直线的一般方程 。

通过空间一直线 $L$ 的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线 $L$ 。

二、空间直线的对称式方程与参数方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫作这条直线的 方向向量 。

由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，所以当直线 $L$ 上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和它的一方向向量 $\mathbf{s}=(m,n,p)$ 为已知时，直线 $L$ 的位置就完全确定了。

设点 $M(x,y,z)$ 是直线 $L$ 上的任一点，则向量 $\overrightarrow{M_{0}M}$ 与 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s}$ 平行。所以两向量的对应坐标成比例，由于 $\overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ ，$\mathbf{s}=(m,n,p)$ ，从而有
$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.\text{\hspace{1em}(4-2)}$$
反过来，如果点 $M$ 不在直线 $L$ 上，那么由于 $\overrightarrow{M_{0}M}$ 与 $\mathbf{s}$ 不平行，这两向量的对应坐标就不成比例。因此方程组 $(4-2)$ 就是直线 $L$ 的方程，叫做 直线的对称式方程 或 点向式方程 。

直线的任一方向向量 $\mathbf{s}$ 的坐标 $m,n$ 和 $p$ 叫做这条直线的一组 方向数 ，而向量 $\mathbf{s}$ 的方向余弦叫做该直线的 方向余弦 。

由直线的对称式方程容易导出 参数方程。如设
$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t.$$
则
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt.\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(4-3)}$$
方程组 $(4-3)$ 就是 直线的参数方程 。

三、两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角（通常指锐角或直角）叫做 两直线的夹角 。

设直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方向向量依次为 ${\mathbf{s}}_1=(m_1,n_1,p_1)$ 和 ${\mathbf{s}}_2=(m_2,n_2,p_2)$ ，则 $L_1$ 和 $L_2$ 的夹角 $\phi$ 应是 $(\widehat{{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2})$ 和 $(\widehat{-{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2})=\pi -(\widehat{{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2})$ 两者中的锐角或直角，因此 $\cos \phi =\left|\cos (\widehat{{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2})\right|$ 。按两向量的夹角的余弦公式，直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的夹角 $\phi$ 可由
$$\cos \phi =\frac{\left|m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2\right|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}\text{\hspace{1em}(4-5)}$$
来确定。

从两向量垂直、平行的充分必要条件即推得下列结论：

两直线 $L_1$ 和 $L_2$ 互相垂直相当于 $m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2=0$ ；

两直线 $L_1$ 和 $L_2$ 互相平行或重合相当于 $\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$ 。

四、直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影的夹角 $\phi \left(0⩽\phi <\frac{\pi }{2}\right)$ 称为 直线与平面的夹角 ，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为 $\frac{\pi }{2}$ 。

设直线的方向向量为 $\mathbf{s}=(m,n,p)$ ，平面的法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ ，直线与平面的夹角为 $\phi$ ，那么 $\phi =\left|\frac{\pi }{2}-(\widehat{\mathbf{s},\mathbf{n}})\right|$ ，因此 $\sin \phi =\left|\cos (\widehat{\mathbf{s},\mathbf{n}})\right|$ 。按两向量夹角余弦的坐标表示式，有
$$\sin \phi =\frac{\left|Am+Bn+Cp\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}\text{\hspace{1em}(4-6)}$$
因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法向量平行，所以，直线与平面垂直相当于
$$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}\text{\hspace{1em}(4-7)}$$
因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平面上相当于
$$Am+Bn+Cp=0\text{\hspace{1em}(4-8)}$$

有时用 平面束 的方程解题会比较方便，现在来介绍它的方程。

设直线 $L$ 由方程组
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(4-11,4-12)}$$
所确定，其中系数 $A_1,B_1,C_1$ 与 $A_2,B_2,C_2$ 不成比例。建立三元一次方程
$$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0\text{\hspace{1em}(4-13)}$$
其中 $\lambda$ 为任意常数。因为 $A_1,B_1,C_1$ 与 $A_2,B_2,C_2$ 不成比例，所以对于任何一个 $\lambda$ 值，方程 $(4-13)$ 的系数： $A_1+\lambda A_2,B_1+\lambda B_2,C_1+\lambda C_2$ 不全为零，从而方程 $(4-13)$ 表示一个平面，若一点在直线 $L$ 上，则点的坐标必同时满足方程组 $(4-11,4-12)$ ，因而也满足方程 $(4-13)$ ，故方程 $(4-13)$ 表示通过直线 $L$ 的平面，且对应于不同的 $\lambda$ 值，方程 $(4-13)$ 表示通过直线 $L$ 的不同的平面。反之，通过直线 $L$ 的任何平面（除平面 $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$ 外）都包含在方程 $(4-13)$ 所表示的一族平面内。通过定直线的所有平面的全体称为 平面束 ，而方程 $(4-13)$ 就作为通过直线 $L$ 的 平面束方程 （实际上，方程 $(4-13)$ 表示缺少平面 $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$ 的平面束）。

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