【图像处理基石】PCA图像压缩与还原：基于OpenCV的Lena图实验

算法原理介绍

PCA（主成分分析）是一种常用的降维技术，其核心思想是通过线性变换将高维数据映射到低维空间，同时保留数据中最主要的信息。在图像压缩中，PCA的工作原理如下：

1. 数据表示：将图像视为像素值矩阵，对于灰度图可表示为二维矩阵，彩色图则为三维张量
2. 中心化：对图像数据进行中心化处理（减去均值）
3. 协方差矩阵：计算数据的协方差矩阵，反映像素间的相关性
4. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量
5. 主成分选择：选择特征值最大的前k个特征向量作为主成分
6. 降维映射：将原始数据投影到选定的主成分上，得到低维表示（压缩）
7. 重构还原：使用低维表示和主成分重构原始数据（还原）

压缩率取决于选择的主成分数量k，k越小压缩率越高，但图像质量可能下降。

代码实现与解释

下面是使用PCA对Lena图像进行压缩与还原的完整代码：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef pca_compress(image, k):"""使用PCA压缩图像:param image: 输入灰度图像 (H, W):param k: 保留的主成分数量:return: 压缩后的图像、投影矩阵、均值"""# 获取图像尺寸h, w = image.shape# 将图像转换为浮点型并展平image_flat = image.astype(np.float32).reshape(h, w)# 计算均值并中心化mean = np.mean(image_flat, axis=0)image_centered = image_flat - mean# 计算协方差矩阵cov_matrix = np.cov(image_centered, rowvar=False)# 计算特征值和特征向量eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(cov_matrix)# 按特征值降序排序sorted_indices = np.argsort(eigenvalues)[::-1]sorted_eigenvectors = eigenvectors[:, sorted_indices]