概率论角度: Laplace 算子和分数阶 Laplace 算子

一、Laplace算子的定义

在 $n$ 维欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中，给定一个足够光滑的标量函数 $f(x)$，其 Laplace算子定义为：
$$\Delta f(x):=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}(x)$$也可以记作：
$${\nabla }^{2}f=\mathrm{div}(\nabla f)$$即梯度的散度。

1. 偏微分方程中的应用

Laplace算子出现在许多基本的偏微分方程中，如：

• 热传导方程（Heat equation）：
  $$\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u$$

• 泊松方程（Poisson equation）：
  $$\Delta u=f$$

• 拉普拉斯方程（Laplace equation）：
  $$\Delta u=0$$

2. 从概率论角度看 —— 布朗运动的生成元

设 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ 是一个马尔可夫过程，它的生成元（infinitesimal generator）定义为：
$$\mathcal{L}f(x):=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\mathbb{E}}^x\left[f\left(X_t\right)\right]-f(x)}{t}$$
其中：${\mathbb{E}}^x$ 表示以 $X_0=x$ 为起点的期望；$f$ 是作用在状态空间上的光滑函数。

设 $B_t$ 是标准 $d$ 维布朗运动，也就是：$B_0=0$；样本路径连续；增量独立且服从正态分布：$B_t-B_s\sim \mathcal{N}(0,(t-s)I_d)$；

考虑一维情形 $B_t\in \mathbb{R}$，令 $X_t=B_t$，我们计算：
$$\mathcal{L}f(x)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\mathbb{E}}^x\left[f\left(B_t\right)\right]-f(x)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\mathbb{E}\left[f\left(x+B_t\right)\right]-f(x)}{t}$$
用 Itô公式 / Taylor 展开：设 $f$ 是足够光滑的（$C^2$），我们对 $f(x+B_t)$ 在 $x$ 处展开：
$$f\left(x+B_t\right)=f(x)+f^{\prime }(x)B_t+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x)B_t^2+o\left(B_t^2\right)$$
对上式取期望，有：$\mathbb{E}[B_t]=0$；$\mathbb{E}[B_t^2]=t$；因此：
$$\mathbb{E}\left[f\left(x+B_t\right)\right]=f(x)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x)t+o(t)$$
代入生成元定义：
$$\mathcal{L}f(x)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x)t-f(x)+o(t)}{t}=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x)$$即：
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{x}^2}=\frac{1}{2}\Delta$$对于$d$维布朗运动也类似，最终得：
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\Delta$$其中$\Delta ={\sum }_{i=1}^d\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}$是标准 Laplace 算子。

二、分数阶 Laplace 算子的定义

为什么分数阶 Laplace 算子定义为如下积分形式：
(−Δ)α/2f(x):=Cd,α∫Rd(f(x+z)−f(x)−1{∣z∣≤1}⟨∇f(x),z⟩)1∣z∣d+αdz(-\Delta)^{\alpha / 2} f(x):=C_{d, \alpha} \int_{\mathbb{R}^d}\left(f(x+z)-f(x)-\mathbf{1}_{\{|z| \leq 1\}}\langle\nabla f(x), z\rangle\right) \frac{1}{|z|^{d+\alpha}} \mathrm{d} z (−Δ)α/2f(x):=Cd,α​∫Rd​(f(x+z)−f(x)−1{∣z∣≤1}​⟨∇f(x),z⟩)∣z∣d+α1​dz其中 $\alpha \in (0,2)$。

这是一个非常深刻的问题，涉及概率论、泛函分析和偏微分方程的交叉领域。我们来从三大角度（直觉 + 数学 + 概率）解释：

1. 从概率论角度看 —— Lévy过程的生成元

对于对称 $\alpha$-stable Lévy 过程 $L_t$（$0<\alpha <2$），其生成元是如下算子：
$$\mathcal{L}f(x)=-(-\Delta {)}^{\alpha /2}f(x)$$这是一个非局部的、伪微分算子，叫做分数阶拉普拉斯算子（fractional Laplacian）。

证明：一个对称 $\alpha$-stable Lévy 过程具有以下性质：独立增量、平稳增量；跳跃路径（非连续），尤其当 $\alpha <2$；任意 $t$ 时刻，其分布为稳定分布：$L_t\sim S_{\alpha }(\sigma t^{1/\alpha })$；特征函数为：
$$\mathbb{E}\left[e^{i\xi \cdot L_t}\right]=e^{-t|\xi {|}^{\alpha }}$$我们回忆生成元与傅里叶变换的关系：若一个过程 $X_t$ 的特征函数为：
$${\mathbb{E}}^x\left[e^{i\xi \cdot X_t}\right]=e^{i\xi \cdot x-t\psi (\xi )}$$那么其生成元在傅里叶域是：
$$\widehat{\mathcal{L}f}(\xi )=-\psi (\xi )\cdot \hat{f}(\xi )$$对于对称 $\alpha$-stable 过程，有：$$\mathbb{E}\left[e^{i\xi \cdot L_t}\right]=e^{-t|\xi {|}^{\alpha }}\Rightarrow \psi (\xi )=|\xi {|}^{\alpha }$$因此，其生成元作用于傅里叶变换后变成：
$$\widehat{\mathcal{L}f}(\xi )=-|\xi {|}^{\alpha }\hat{f}(\xi )$$而这正是分数阶 Laplacian 的傅里叶定义：$$\widehat{(-\Delta {)}^{\alpha /2}f}(\xi )=|\xi {|}^{\alpha }\hat{f}(\xi )$$所以，
$$\mathcal{L}f=-(-\Delta {)}^{\alpha /2}f$$

对称$\alpha$- stable Lévy 过程对应的 Lévy 测度是：
$$\nu (dz)=\frac{C_{d,\alpha }}{|z{|}^{d+\alpha }}dz$$所以它的生成元也可以写成非局部积分形式（Lévy－Khintchine公式）：
$$\mathcal{L}f(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^d}\left[f(x+z)-f(x)-1_{|z|\le 1}⟨\nabla f(x),z⟩\right]\frac{C_{d,\alpha }}{|z{|}^{d+\alpha }}dz$$这就是分数阶拉普拉斯算子的积分定义。