改进PSO算法！新自组织分层粒子群优化算法，具有变化的时间变化加速系数，附完整代码

毫无疑问，进化算法领域中强大而有效的优化器之一是粒子群优化（PSO）。粒子群优化（PSO）是自组织分层 PSO 与时间变化加速系数（HPSO-TVAC）的结合，由 Ratnaweera 和 co-authors [1] 提出，是一种有效的模型，由 Eberhart 和 Kennedy [2] 在 1995 年引入，受到中央动物群体（如鱼群）的启发，这些动物通过群体行为解决优化问题。HPSO-TVAC 优化技术包含一个粒子群（Np 个粒子作为问题解决方案（Np 由粒子数量定义，粒子在 D 维解空间中定义，$X_i=[x_{i,1},x_{i,2},...,x_{i,D}]$）。

每个粒子在每次迭代（第一迭代）中根据其个人最佳位置（目标函数值或适应度函数值）$P_i=[p_{i,1},p_{i,2},...,p_{i,D}]$ 和群体中所有粒子的最佳位置 $P_g=[p_{g,1},p_{g,2},...,p_{g,D}]$ 调整其位置和速度。在每次迭代的优化过程中，粒子的位置和速度 $(V_i,{\vec{v}}_i)$ 由以下方程给出：

$$v_{i,j}^{iter+1}=c_1^{\text{iter}}\times r_1\times (p_{i,j}-x_{i,j}^{iter})+c_2^{\text{iter}}\times r_2\times (p_{g,j}-x_{i,j}^{iter})\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$x_{i,j}^{iter+1}=x_{i,j}^{iter}+v_{i,j}^{iter+1}\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中随机系数 $r_1$ 和 $r_2$ 是 [0, 1] 范围内的均匀随机变量，$c_1^{\text{iter}}$ 和 $c_2^{\text{iter}}$ 是加速系数，可以通过以下方程计算：

$$c_1^{\text{iter}}=(c_1^f-c_1^i)\times \frac{\text{iter}}{{\text{iter}}_{\text{max}}}+c_1^i\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$c_2^{\text{iter}}=(c_2^f-c_2^i)\times \frac{\text{iter}}{{\text{iter}}_{\text{max}}}+c_2^i\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $c_1^i$, $c_1^f$, $c_2^i$ 和 $c_2^f$ 是常数，在本文中 $c_1^{\text{iter}}$ 从 $c_1^i=c_1^f=2.5$ 变化到 $c_2^{\text{iter}}$ 从 $c_2^i=c_2^f=0.5$ 和 $c_2^{\text{iter}}$ 从 $c_2^i=c_2^f=2.5$。

HPSO-TVAC 算法是许多优化论文中的重要版本之一，与经典 HPSO-TVAC 相比，它在真实世界优化中非常有竞争力。

让我们，我们已经提高了 HSO-TVAC 算法的解决方案质量，同时增加了收敛速度并减少了局部最优的陷阱，而没有增加额外成本。这样，我们可以通过在 HSO-TVAC 算法中进行两个简单且协调的变化来获得解决方案。除了与 HPSO-TVAC 相似的情况外，其他情况的 NHPSO-TVAC 已经被选择为 [1]。在这些条件和 $V$ 的范围内，我们考虑了 $c_1$ 和 $c_2$ 作为指数，根据 (4) 和 (5)，为了能够从局部最优中逃脱并增加搜索空间的多样性，我们选择了 $c_1^{\text{iter}}$ 和 $c_2^{\text{iter}}$ 作为基本解决方案，并增加了控制参数，简化了算法。换句话说，算法简化了：

$$c_1^{\text{iter}}=(c_f-c_i)\times \frac{\text{iter}}{{\text{iter}}_{\text{max}}}+c_i\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$c_2^{\text{iter}}=|w(e^{-f/(1-w)})\text{\hspace{1em}(6)}$$

这里随机系数 $w$ 是标准正态随机变量，$c_2^{\text{iter}}$ 从 $c=c_i=0.5$ 到 $c_{\text{max}}=c_f=0.0$ 对于所有模拟变化 $c^{\text{iter}}$ 从 $c=c_i=0.5$ 到 $c_{\text{max}}=c_f=0.0$。

在最近的研究 [3, 4] 中，建议 PSO 算法中的全局和整体搜索能力比 (2) 更好，以便从局部最优中逃脱并找到最佳值，如第 r 部分所示，$p_i^{\text{iter}}-X_i^{\text{iter}}$ 另一方面，模拟显示，如果不考虑 PSO 结构，则算法的收敛速度降低，这降低了算法的能力。因此，在所提出的算法的第二阶段，(2) 的整体搜索部分被转化为整体模拟搜索，用于个人局部搜索（即 $p_i^{\text{iter}}-2\times X_i^{\text{iter}}$）。这样除了快速收敛到局部解外，还可以实现可接受的收敛性，提高最终优化质量。新搜索方程如下：

$$v_{i,j}^{\text{iter+1}}=c_1^{\text{iter}}\times r_1\times (p_{i,j}^{\text{position}}-x_{i,j}^{\text{iter}})+c_2^{\text{iter}}\times r_2\times ((2\times p_{i,j}^{\text{iter}})-2\times x_{i,j}^{\text{iter}})\text{\hspace{1em}(7)}$$

$$x_{i,j}^{\text{iter+1}}=x_{i,j}^{\text{iter}}+\Delta x_i\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中 $\Delta x_i={\delta }_{\text{mut}}^{\text{alter}}\cdot \mathcal{N}(0,1)$

$$x_i^{\prime }=x_i+\Delta x_i\text{\hspace{1em}(9)}$$

当 $x_i^{\prime }$ 是代理经过变异后的新位置。

通过遵循这些步骤，HSO 算法有效地平衡了全局和局部搜索策略，确保在各种问题领域中实现稳健的优化性能。从表 1 的最后两行可以看出，该算法的时间比其他算法少 $NB$（$NB$ 是该算法比其他算法更差的次数），我们可以得出结论，所提出的 HSO-TVAC 优化技术比经典优化技术更有效且更稳定，HPSO-TVAC 可以被认为是经典 HPSO-TVAC 的改进版本，用于真实世界优化。

% % Based on the paper:
% % M. Ghasemi, J. Aghaei, and M. Hadipour, "New self-organising  hierarchical PSO with jumping time-varying acceleration
% % coefficients," Electron. Lett., vol. 53, no. 20, pp. 1360–1362, 2017. DOI: 10.1049/el.2017.2112.clear
clc
disp('HPSO-TVAC');CostFunction=@(x) ObjFun(x);nVar=40;            % Number of decision variablesVarMin=-100;        % Minimum value of decision variables
VarMax=-VarMin;     % Maximum value of decision variablesnPop=40;            % Number of algorithm populationci=0.5;
cf=0.0;MaxNFE=100e3;           % Maximum Number of Function Evaluations
MaxIt=MaxNFE/nPop;dx=VarMax-VarMin;
vmax(1:nVar)=0.5*dx;velocity=zeros(nPop,nVar);
position=velocity;
cost=zeros(1,nVar);
gbestcost=inf;
pbest=position;
pbestcost=cost;
gcost=zeros(1,MaxIt);
NFES=zeros(1,MaxIt);
NFE=0;
it=0;while NFE<MaxNFEit=it+1;if it==1    % Initializationfor i=1:nPopvelocity(i,1:nVar)=vmax;position(i,:)=rand(1,nVar).*VarMin+(VarMax-VarMin);cost(i)=CostFunction(position(i,:));NFE=NFE+1;pbest(i,:)=position(i,:);pbestcost(i)=cost(i);if pbestcost(i)<gbestcost(it)gbest=pbest(i,:);gbestcost=pbestcost(i);endendelsec_it=((cf-ci)*(it/MaxIt))+ci;for i=1:nPopA=randperm(nPop);A(A==i)=[];a0=A(1);w=randn;c1_it=(abs(w))^((c_it)*(w));c2_it=(abs((1-w)))^((c_it)*(1/(1-w)));%%%%%%%%%%%%%HPSOvelocity(i,:)=(c1_it*(rand(1,nVar)).*((pbest(i,:))-position(i,:)))...+(c2_it*(rand(1,nVar)).*((gbest+pbest(a0,:))-2*position(i,:)));for gg=1:nVarif velocity(i,gg)==0if rand<0.5velocity(i,gg)=rand*vmax(1,gg);elsevelocity(i,gg)=-rand*vmax(1,gg);endendvelocity(i,gg)=sign(velocity(i,gg)).*min(abs(velocity(i,gg)),abs(vmax(1,gg)));end%%%%%%%%%%%%%%%%velocity(i,:)=min(max(velocity(i,:),-vmax),vmax);position(i,:)=position(i,:)+velocity(i,:);position(i,:)=min(max(position(i,:),VarMin),VarMax);cost(i)=CostFunction(position(i,:));            NFE=NFE+1;if cost(i)<pbestcost(i)pbest(i,:)=position(i,:);pbestcost(i)=cost(i);if pbestcost(i)<gbestcostgbest=pbest(i,:);gbestcost=pbestcost(i);endendendendNFES(it)=NFE;gcost(it)=gbestcost;fprintf('Iteration %3.0f,  NFE %6.0f,   Best Cost %g\n',it,NFE,gbestcost)
endgcost(it+1:end)=[];
NFES(it+1:end)=[];
plot(NFES,gcost,'b','linewidth',2);BestSol.Position=gbest;
BestSol.Cost=gbestcost;

Ghasemi, M., Aghaei, J. and Hadipour, M. (2017), New self-organising hierarchical PSO with jumping time-varying acceleration coefficients. Electron. Lett., 53: 1360-1362. https://doi.org/10.1049/el.2017.2112