定点数 与 浮点数

定点数：

小数点固定；例如 「 Q3.12 」描述的是一个整体长度为16位的2进制有符号定点数，它的整数部分长度是3，而小数部分长度是12。根据小数部分的长度，可以推断出分辨率为 2^-12。

浮点数：

利用二进制的科学计数法表示， 因此小数点可以浮动（小数点受阶码E编码， 因此阶码运算后，小数点自然浮动）， 可以对标十进制的科学计数法去理解二进制浮点数；

浮点数转定点数

请重点理解分辨率这个概念(小数点决定二进制小数分辨率, 十进制小数转二进制是存在误差的,因此有转换精度的概念)

• 对于整数二进制， 分辨率为1， 因此d100–> d100/1=d100（份)–>b1100100 * 1 =b1100100(根据分辨率2^0移位)
• 对于小数二进制， 假设小数点保留五位, 则小数精度(分辨率)为2^-5, 因此d100.1415 --> d100.1415 / 2^-5 = d3,204.528（份）–> d3204(取整) = b1100 1000 0100 --> 结果b1100100.00100(小数点左移5位)
• 请注意, 这里和数电中十进制转二进制方法(整数除2,小数乘2, 根据需要取小数点)的区别, 流程变为, 先定好小数点, 将原数/分辨率再取整, 转为二进制, 根据分辨率移动二进制小数点
• 再以二进制浮点数转二进制定点数为例(定点, 移位, 取整):
• 定规则：确定小数部分位数 n（如 n=3）。左移 n 位：二进制浮点数左移 n 位(对应前面的原数/分辨率)，将小数部分 “挪” 到整数位（相当于 ×(2^n)）。取整：对移位后的数截断或四舍五入，保留整数部分。插小数点：在整数结果的右侧第 n 位插入小数点，得到二进制定点数。

• 举个例子：把二进制浮点数 101.001101 转成 “小数部分 3 位” 的二进制定点数
  步骤 1：明确定点化规则,指定小数部分保留 n=3 位（整数部分位数根据数值范围自动确定）。
  步骤 2：“放大” 二进制浮点数（左移 n 位，去掉小数点）二进制的 “放大 (2^n) 倍” 等价于 向左移动 n 位小数点：原数 101.001101（二进制），左移 3 位后 → 101001.101（小数点移到整数部分末尾）。
  步骤 3：取整（截断或四舍五入）移完后若有小数部分，根据精度需求处理：
  这里 101001.101 的小数部分是 101（二进制），若截断则保留整数部分 101001；若四舍五入（二进制中末位≥1 则进 1），101 对应十进制 5≥4，所以进 1 → 101010。
  步骤 4：还原成定点数（固定小数点位置）将整数结果按 “小数部分 3 位” 插回小数点：截断后：101001 → 从右数 3 位插小数点 → 101.001（二进制）四舍五入后：101010 → 插小数点 → 101.010（二进制）

无损定点化

这里再引入一个无损定点化的概念，所谓【无损定点化】只是数学概念，==只要量化误差小于精度的一半，就认为是“无损”的。==按照这个标准，那对小数点采取四舍五入的结果必然是无损的。但是校招时很多题采取的是“量化后直接去除小数”，即我前面提到的直接去掉小数部分，那么最终的结果小数部分大于 0.5 则不是无损的了。

什么意思？
我还是拿 3.1415举例，定点化过程中首先利用公式：定点数 = 浮点数 × 2^小数位数（按5位）， 3.1415 × 2 ^ 5 = 100.528，这里的小数部分大于了0.5，那么我们如果直接舍弃，就可以认为这个转化是有损的，当然我们也可以计算出他的量化误差：0.528/28=0.0020625，很明显这个值是大于量化精度的一半29=0.0019531，所以是有损的，用这两种办法我们都可以用来判断转化有损还是无损，位宽是否合适等。

定点数到浮点数

还是要先说明，这个浮点数不是IEEE754规定的浮点数，仅指10进制小数，显然这就是定点化的逆过程。以 定点数0_0011_00100 的转换为例：

首先需要确定该定点数的规格，假设其规格如下：1位符号位 + 4位整数部分 + 5位小数部分
符号位为0说明这是一个正数
整数部分的值为0011，即10进制的3
小数部分的值为00100，即10进制的0.125（可以理解为0.03125×4）
综合起来的结果就是 +3.125
整个过程相对简单，只要将整数部分和小数部分分别从2进制转换为10进制，再结合起来即可。

定点数据的两种溢出处理模式

两种常见的溢出处理方式：Saturate（饱和）和Wrap（绕回/截断）。

饱和处理 (Saturate)
饱和逻辑是当数据超过能够表示的范围时，直接将结果固定在最大值或最小值。
例如，假设你有8位有符号数（范围为-128到127），如果运算结果为150，那么饱和处理会将它限制为127（正向溢出），如果结果为-200，则饱和为-128（负向溢出）。

绕回处理 (Wrap / 截断)
绕回处理是直接忽略溢出的高位，只保留符合当前位宽的部分。例如，对于一个8位无符号数（范围为0到255），如果运算结果为300，二进制表示为100101100，那么系统只保留低8位，结果为00101100，即十进制44。

尽管饱和和绕回的处理不能保留原本正确的数值，但它们的目的并不是为了提供精确的数学结果，而是为了保证在硬件资源有限的情况下（如固定位宽）能有效处理溢出，避免程序崩溃或不稳定。

怎么尽可能的保留原本正确的溢出数值？
1、增加位宽（扩展数据位宽）
解决方案：如果系统允许，增加数据处理的位宽。例如，从8位扩展到16位或32位。
2、多字节存储(进位)
通过使用多个字节来存储超出位宽的数据，这样当数据溢出时，能够利用额外的字节来存储溢出的部分，从而保持正确的结果。
假设我们在一个8位无符号系统中表示的最大数是255。如果两个数相加会超过255，就会发生溢出。比如：
200+100=300，但8位系统只能表示到255，所以结果会变为44（300 - 256）。
那我们就可以将数据分为高位字节和低位字节来表示：
300可以表示为两个字节：高位字节1（表示256的一部分）和低位字节44（D）（剩余部分）。
高位字节存储溢出的部分，低位字节存储余数部分，这样可以正确存储300。