26考研|数学分析：重积分

前言

从本专题开始，整个数学分析的学习便进入到了偏以计算为主的主流知识体系内。本章在原来学习求曲边梯形（定积分/一重积分）过渡到求曲顶柱体（二重积分）以及更多维度的计算之中。在学习计算的过程中，更应该注意对于积分区域的理解，注意灵活运用积分变换方法，使得积分的计算更为便利。

21.1二重积分的概念

本小节作为二重积分的伊始，首先介绍了二重积分出现的几何背景，进而给出其严格定义，在学习过程中，要注意理解二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积，只有当f(x,y)=1，即被积函数为1时，所求积分才为底面的面积。

21.2直角坐标系下二重积分的计算

本小节开始着手正式进行到积分的计算，首先从最简单的直角坐标系中的计算开始，将被积分区域分为x型区域以及y型区域，在规划好的区域上面进行计算，便利二重积分计算。

21.3二重积分的变量变换

在二重积分的计算过程中，往往会出现两个困境——①被积函数复杂，无法进行拆解与分析；②积分区域繁琐，被分成x型区域与y型区域仍然难以计算。因此，本小节开始运用变量变换的方法对复杂的重积分进行合理变化，使其能够被更容易的求解。本小节的学习过程中，要注意雅可比行列式J在计算过程中的重要作用，千万不能被忽略，否则题目的计算将出现偏颇。同时，本章的一个重难点变为极坐标下的二重积分计算，这一部分考频极高，必须进行高度重视。注意变换方法的运用，且外，变换一旦进行：被积函数、积分区域、雅可比行列式三者都需要被考虑，缺一不可。

21.4三重积分

在二重积分之后，三重积分的学习可以完全进行类比，其仍然可以在积分区域内按照“先二后一”、“先一后二”两种积分方法进行分别计算，此外，为了便利求解方法，还可以对三重积分进行进一步变量变换，其中常用的柱坐标系变换以及球坐标系变换应该牢固掌握。

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