【高等数学】第七章 微分方程——第四节 一阶线性微分方程

上一节：【高等数学】第七章 微分方程——第三节 齐次方程
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1. 线性方程

• 方程
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$$
  叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数$y$及其导数是一次方程. 如果$Q(x)\equiv 0$，那么方程是齐次的
  如果$Q(x)\not\equiv 0$，那么方程是非齐次的.
• 解法
  令$Q(x)=0$，写出对应的齐次线性方程
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0$$
  分离变量后，两边积分得
  $$\ln |y|=-\int P(x)\mathrm{d}x+C_1$$
  即$$y=C{\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$$
  使用常数变易法，求非齐次线性方程的通解
  令$u=C$，$y=u{\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$
  $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u^{\prime }{\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}-uP(x){\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$
  代入$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$得
  $u^{\prime }{\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}-uP(x){\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+P(x)u{\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=Q(x)$
  即$u^{\prime }=Q(x){\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$
  $u=\int Q(x){\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C$
  因此非齐次线性方程的通解
  $$\begin{array}{rl}y& ={\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\left(\int Q(x){\mathrm{e}}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)\\ & =C{\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+{\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\int Q(x){\mathrm{e}}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\end{array}$$
  右边是齐次线性方程的通解，左边是非齐次线性方程的一个特解

2. 伯努利方程

• 方程
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$$
  叫做伯努利(Bernoulli)方程.
  当$n=0$或$n=1$时，这是线性微分方程.
  当$n\ne 0$，$n\ne 1$时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的.
• 解法
  两边同除以$y^n$得
  $$y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y^{1-n}=Q(x).$$
  令$z=y^{1-n}$，$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，则可得线性方程
  $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$
  求得通解后，再将$z=y^{1-n}$回代即可得伯努利方程通解

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