动态规划进阶：Python实现最长递增子序列（LIS）问题及其优化

介绍

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称 LIS）是一个经典的动态规划问题，广泛应用于算法设计和问题求解中。它的基本目标是从一个给定的数列中找到一个递增的子序列，使得子序列的长度尽可能长。LIS问题有很多应用场景，包括图形学、股票交易预测等问题中。

本文将带领你从动态规划的基本方法入手，逐步深入学习如何解决 LIS 问题，并且介绍几种优化方法，让解决方案在大数据情况下更高效。

问题描述

给定一个整数数组，求其中最长递增子序列的长度。子序列是从原数组中删除一些元素（不改变其相对顺序）得到的数组。

示例

输入: nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
输出: 4
解释: 最长递增子序列是 [2, 3, 7, 101]，其长度为 4。

1. 动态规划的基本解法

动态规划思想

我们可以通过动态规划的思想来求解 LIS 问题。具体步骤如下：

1. 定义状态：
   定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。

2. 状态转移：
   对于每一个元素 nums[i]，我们遍历其之前的元素 nums[j]（j < i）