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30天打牢数模基础-模拟退火算法讲解

news 2025/7/21 11:54:35

二、完整Python代码

import random
import mathdef rastrigin(x, y):"""二维Rastrigin函数（目标函数，需最小化）参数：x: 自变量xy: 自变量y返回：函数值f(x,y)"""return 20 + x**2 + y**2 - 10 * math.cos(2 * math.pi * x) - 10 * math.cos(2 * math.pi * y)def simulated_annealing(T0=100, alpha=0.9, L=100, T_end=1e-5):"""模拟退火算法实现（解决二维Rastrigin函数最小化问题）参数：T0: 初始温度（默认100，越大探索越充分）alpha: 温度衰减系数（默认0.9，0.8-0.95之间，越小降温越快）L: 每个温度下的迭代次数（默认100，越大搜索越充分）T_end: 停止温度（默认1e-5，越小收敛越彻底）返回：best_solution: 全局最优解（x,y）best_value: 全局最优目标函数值"""# 1. 初始化当前解（随机生成x,y ∈ [-5.12, 5.12]）x = random.uniform(-5.12, 5.12)y = random.uniform(-5.12, 5.12)current_sol = (x, y)  # 当前解（tuple）current_val = rastrigin(x, y)  # 当前解的目标函数值# 2. 初始化最好解（初始时最好解为当前解）best_sol = current_solbest_val = current_val# 3. 温度循环（从高温到低温）T = T0  # 当前温度while T > T_end:# 4. 每个温度下的迭代（搜索当前温度下的解空间）for _ in range(L):# a. 生成新解（在当前解附近随机扰动，用正态分布，标准差与温度相关）# 温度越高，扰动越大（探索范围广）；温度越低，扰动越小（聚焦局部）new_x = current_sol[0] + random.gauss(0, T**0.5)  # 正态分布扰动xnew_y = current_sol[1] + random.gauss(0, T**0.5)  # 正态分布扰动y# b. 截断新解（确保x,y在定义域[-5.12, 5.12]内）new_x = max(min(new_x, 5.12), -5.12)new_y = max(min(new_y, 5.12), -5.12)new_sol = (new_x, new_y)  # 新解new_val = rastrigin(new_x, new_y)  # 新解的目标函数值# c. 计算目标函数差（新解 - 当前解）delta_f = new_val - current_val# d. Metropolis准则：判断是否接受新解if delta_f <= 0:# 情况1：新解更好（目标函数值更小），直接接受current_sol = new_solcurrent_val = new_val# 更新最好解（如果新解比当前最好解更好）if new_val < best_val:best_sol = new_solbest_val = new_valelse:# 情况2：新解更差，以概率exp(-delta_f/T)接受prob = math.exp(-delta_f / T)  # 接受概率（温度越高，概率越大）if random.random() < prob:  # 生成0-1随机数，小于prob则接受current_sol = new_solcurrent_val = new_val# 5. 温度衰减（指数衰减：T = alpha * T）T *= alpha# 6. 返回最好解和最好目标函数值return best_sol, best_valif __name__ == "__main__":# ---------------------- 参数设置（小白可调整） ----------------------T0 = 100      # 初始温度（推荐值：50-200）alpha = 0.9   # 衰减系数（推荐值：0.8-0.95）L = 100       # 每个温度下的迭代次数（推荐值：50-200）T_end = 1e-5  # 停止温度（推荐值：1e-4-1e-6）# -------------------------------------------------------------------# 运行模拟退火算法best_sol, best_val = simulated_annealing(T0, alpha, L, T_end)# 输出结果print("="*50)print("模拟退火算法求解二维Rastrigin函数最小值结果：")print(f"全局最优解（x, y）：({best_sol[0]:.4f}, {best_sol[1]:.4f})")print(f"全局最优目标函数值：{best_val:.4f}")print(f"理论全局最小值：0（对应解(0,0)）")print("="*50)

三、代码使用说明

1.环境准备

安装Python（推荐3.7及以上版本，下载地址：https://www.python.org/downloads/）。

无需额外安装第三方库（代码使用Python标准库random和math）。

2.运行代码

将代码保存为sa_rastrigin.py（或任意文件名）。

打开命令行（Windows：Win+R输入cmd；Mac：Launchpad搜索终端），进入代码所在目录，运行：

Python sa_rastrigin.py

3.参数调整说明（小白重点）

代码中的T0（初始温度）、alpha（衰减系数）、L（每个温度下的迭代次数）是核心可调参数，影响算法性能：

初始温度T0：

越大：算法初期探索范围越广（敢接受差解），越不容易陷入局部最优，但计算时间越长。

推荐值：50-200（比如T0=100）。

衰减系数alpha：

越小：温度下降越快（比如alpha=0.8，10次迭代后温度从100降到100*0.8^10≈10.7），计算时间短，但可能提前收敛到局部最优。

越大：温度下降越慢（比如alpha=0.95，10次迭代后温度≈59.8），探索更充分，但计算时间长。

推荐值：0.8-0.95（比如alpha=0.9）。

每个温度下的迭代次数L：

越大：每个温度下搜索越充分（比如L=200，每个温度下尝试200次新解），越可能找到更好的解，但计算时间越长。

推荐值：50-200（比如L=100）。

4.结果解释

运行代码后，会输出类似以下结果（因随机种子不同，结果略有差异）：

==================================================
模拟退火算法求解二维Rastrigin函数最小值结果：
全局最优解（x, y）：(0.0012, -0.0008)
全局最优目标函数值：0.0002
理论全局最小值：0（对应解(0,0)）
==================================================

全局最优解：接近(0,0)（理论全局最优解）。

全局最优目标函数值：接近0（理论全局最小值）。