2025年6月GESP（C++二级）： 幂和数

2025年6月GESP（C++二级）： 幂和数

题目描述

对于正整数 $n$，如果 $n$ 可以表为两个 $2$ 的次幂之和，即 $n=2^x+2^y$（$x,y$ 均为非负整数），那么称 $n$ 为幂和数。

给定正整数 $l,r$，请你求出满足 $l\le n\le r$ 的整数 $n$ 中有多少个幂和数。

输入格式

一行，两个正整数 $l,r$，含义如上。

输出格式

输出一行，一个整数，表示 $l,r$ 之间幂和数的数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 8

输出 #1

6

输入输出样例 #2

输入 #2

10 100

输出 #2

20

说明/提示

对于所有测试点，保证 $1\le l\le r\le 10^4$。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;  int l, r, cnt = 0;  // 定义区间左右端点 l, r 和计数器 cnt
// 预计算2的幂次：2^0到2^13（因为2^14=16384>10000，所以14个元素足够覆盖题目范围）
int a[14] = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192};// 检查x是否是幂和数：是否存在两个2的幂次之和等于x
bool check(int x) {// 双重循环遍历所有2的幂组合（包括相同元素）for (int i = 0; i < 14; i++) {for (int j = 0; j < 14; j++) {// 如果找到两个幂次之和等于x，返回trueif (a[i] + a[j] == x) {return true;}}}return false;  // 未找到匹配组合
}int main() { cin >> l >> r;  // 输入区间// 遍历区间内每个数for (int i = l; i <= r; i++) {if (check(i)) {  // 检查当前数是否为幂和数cnt++;       // 如果是，计数器加1}}cout << cnt;  // 输出幂和数的总数return 0;
}

功能分析：

1. 预计算2的幂次：

   • 数组 a 存储了从 $2^0$ 到 $2^{13}$（即1到8192）的所有2的幂次值。选择13次方是因为 $2^{14}=16384$ 已超过题目上限 $10^4$。

2. 幂和数检测（check函数）：

   • 通过双重循环遍历所有可能的2的幂次组合（包括相同幂次，如 $2^x+2^x$）。
   • 对每个输入数值 x，检查是否存在一对索引 (i, j) 使得 $a[i]+a[j]=x$。
   • 若存在则返回 true，否则返回 false。

3. 区间统计（main函数）：

   • 读取区间 [l, r]。
   • 遍历区间内每个整数，使用 check 函数判断是否为幂和数。
   • 统计满足条件的整数数量并输出结果。

时间复杂度：

• 检测单个数值：$O(14^2)=O(196)$ 次运算。
• 区间扫描：最多 $10^4$ 个数（当区间为 $[1,10000]$ 时）。
• 总复杂度：$O(196\times 10^4)\approx O(2\times 10^6)$，在题目约束下高效可行。

注意事项：

• 包含相同幂次：双重循环允许 $i=j$（如 $2=1+1$），符合题目要求。
• 幂次范围：预计算的14个幂次覆盖了 $[1,16384]$，而题目 $r\le 10^4$，确保不会漏解。

文末彩蛋：

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