20250218反函数求导

反函数求导理清的一点思路

理解反函数求导的一些内容对我来说有一点困难，更不要说写出来，但这就是学习的乐趣所在，不是吗。

一、导数和反函数的关系

The relationship between derivatives an inverse functions.
如果$f$在其定义域$(a,b)$上$可导$且满足以下条件中的一条：

• $(1)$对于在所有$(a,b)$中的$x$，$f^{\prime }(x)>0$；
• $(2)$对于在所有$(a,b)$中的$x$，$f^{\prime }(x)<0$；
• $(3)$对于在所有$(a,b)$中的$x$，$f^{\prime }(x)⩾0$且对于有限个数的$x$，$f^{\prime }(x)=0$；
• $(4)$对于在所有$(a,b)$中的$x$，$f^{\prime }(x)⩽0$且对于有限个数的$x$，$f^{\prime }(x)=0$，
  则$f$有反函数。

如果其定义域是$[a,b]$、$[a,b)$或$(a,b]$的形式，且$f$在整个定义域上连续，那么$f$满足上述四个条件中的任意一条，它仍有反函数。

二、求反函数的导数

Finding the derivative of an inverse function.
如果知道函数$f$有反函数，我们通常称之为$f^{-1}$，那么该反函数的导数是什么呢？下面就介绍如何求解。从方程$y=f^{-1}(x)$开始。你可以将他重新写作$f(y)=x$。现在对方程两边关于$x$作隐函数求导得到：
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dx}(f(y))=\frac{d}{dx}\left(x\right)\end{array}$$
等号右边很容易求解，它就是1。
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dx}\left(x\right)=1\end{array}\text{\hspace{1em}(1-1)}$$
等号的左边，为了求得等号左边的式子，我们用到隐函数求导，设$u=f(y)$，根据链式求导法则，我们得到以下式子：
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dx}(f(y))=\frac{du}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}\end{array}\text{\hspace{1em}(1-2)}$$
此时的$y$是原函数的变量，$f$就是原函数。那么：
$$\begin{array}{rl}& \frac{du}{dy}=f^{\prime }(y)\\ \text{这里}& \text{的}{f}^{\prime }(y)\text{就是原函数的导数}\end{array}$$
我们可以将$(1)$式的左边改写成：
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dx}(f(y))=\frac{du}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=f^{\prime }(y)\cdot \frac{dy}{dx}\end{array}\text{\hspace{1em}(1-3)}$$
结合$\text{(1-1)}$和$\text{(1-3)}$两个式子，得到：
$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(y)\cdot \frac{dy}{dx}=1\end{array}$$
两边同时除以$f^{\prime }(y)$得到：
$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f^{\prime }(y)}\end{array}\text{\hspace{1em}(2-1)}$$
到此，我们得到如下定理：
$$\begin{array}{r}\boxed{\text{如果}y=f^{-1}(x)\text{，则}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f^{\prime }(y)}}\end{array}$$
如果要用$x$来代表所有的项上述式子，则有：
$$\begin{array}{r}\boxed{\frac{d}{dx}(f^{-1}(x))=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}}\end{array}$$

从《普林斯顿微积分读本》读到的反函数求导就是上面的内容，这里主要用到了隐函数求导和函数的变量名和函数名的命名不会固定为$x$和$y$的特点，虽然有更简单的理解方法，但是通过这一节复习了函数命名和隐函数求导也是一件不错的事。唯一耗费时间的是中文版将这一节印在了两页上，如果看英文版是印在同一页的，英文版相对来说更好理解。