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梁的振动特征函数分析

题目

问题3:梁的振荡由方程描述:
utt+Kuxxxx=0,0<x<l, u_{tt} + K u_{xxxx} = 0, \qquad 0 < x < l, utt+Kuxxxx=0,0<x<l,
其中 K>0 K > 0 K>0

如果两端被夹住(即位置和方向固定),则边界条件为:
u(0,t)=ux(0,t)=0,u(l,t)=ux(l,t)=0. u(0,t) = u_x(0,t) = 0, \quad u(l,t) = u_x(l,t) = 0. u(0,t)=ux(0,t)=0,u(l,t)=ux(l,t)=0.

(a) 找到描述频率的方程,并求相应的特征函数(可假设所有特征值为实数且正)。

(b) 图形化解频率方程(即绘制相应函数,其与OX轴的交点 (zn,0) (z_n, 0) (zn,0) 给出频率 ωn=ω(zn) \omega_n = \omega(z_n) ωn=ω(zn)

© 证明对应于不同特征值的特征函数是正交的。

(d) 奖励:证明特征值是简单的(即同一特征值对应的所有特征函数成比例)。

(e) 奖励:在计算机上绘制前几个特征函数的草图。

提示:改变坐标系,使区间变为 [−L,L] [-L, L] [L,L],其中 L=l/2 L = l/2 L=l/2;分别考虑偶函数和奇函数的特征函数。


解决问题3

使用分离变量法:令 u(x,t)=X(x)T(t) u(x,t) = X(x) T(t) u(x,t)=X(x)T(t)。代入方程得:
XT¨+KX(4)T=0. X \ddot{T} + K X^{(4)} T = 0. XT¨+KX(4)T=0.
分离变量:
T¨T=−λ,KX(4)X=λ, \frac{\ddot{T}}{T} = - \lambda, \quad K \frac{X^{(4)}}{X} = \lambda, TT¨=λ,KXX(4)=λ,
其中 λ \lambda λ 是分离常数。假设 λ>0 \lambda > 0 λ>0(特征值实数且正),则时间方程和空间方程为:
T¨+λT=0, \ddot{T} + \lambda T = 0, T¨+λT=0,
X(4)−μ4X=0,μ4=λK. X^{(4)} - \mu^4 X = 0, \quad \mu^4 = \frac{\lambda}{K}. X(4)μ4X=0,μ4=Kλ.
空间方程的通解为:
X(x)=Acosh⁡(μx)+Bsinh⁡(μx)+Ccos⁡(μx)+Dsin⁡(μx). X(x) = A \cosh(\mu x) + B \sinh(\mu x) + C \cos(\mu x) + D \sin(\mu x). X(x)=Acosh(μx)+Bsinh(μx)+Ccos(μx)+Dsin(μx).

(a) 频率方程和特征函数

应用边界条件:

  • X(0)=0 X(0) = 0 X(0)=0A+C=0 A + C = 0 A+C=0,即 C=−A C = -A C=A
  • X′(0)=0 X'(0) = 0 X(0)=0μ(B+D)=0 \mu(B + D) = 0 μ(B+D)=0,即 B+D=0 B + D = 0 B+D=0,所以 D=−B D = -B D=B
  • X(l)=0 X(l) = 0 X(l)=0Acosh⁡(μl)+Bsinh⁡(μl)−Acos⁡(μl)−Bsin⁡(μl)=0 A \cosh(\mu l) + B \sinh(\mu l) - A \cos(\mu l) - B \sin(\mu l) = 0 Acosh(μl)+Bsinh(μl)Acos(μl)Bsin(μl)=0
  • X′(l)=0 X'(l) = 0 X(l)=0μ[A(sinh⁡(μl)+sin⁡(μl))+B(cosh⁡(μl)−cos⁡(μl))]=0 \mu [A (\sinh(\mu l) + \sin(\mu l)) + B (\cosh(\mu l) - \cos(\mu l))] = 0 μ[A(sinh(μl)+sin(μl))+B(cosh(μl)cos(μl))]=0.

简化后得齐次系统:
A(cosh⁡z−cos⁡z)+B(sinh⁡z−sin⁡z)=0, A (\cosh z - \cos z) + B (\sinh z - \sin z) = 0, A(coshzcosz)+B(sinhzsinz)=0,
A(sinh⁡z+sin⁡z)+B(cosh⁡z−cos⁡z)=0, A (\sinh z + \sin z) + B (\cosh z - \cos z) = 0, A(sinhz+sinz)+B(coshzcosz)=0,
其中 z=μl z = \mu l z=μl. 非零解要求系数行列式为零:
(cosh⁡z−cos⁡z)2−(sinh⁡z−sin⁡z)(sinh⁡z+sin⁡z)=0. (\cosh z - \cos z)^2 - (\sinh z - \sin z)(\sinh z + \sin z) = 0. (coshzcosz)2(sinhzsinz)(sinhz+sinz)=0.
计算得:
sinh⁡2z−sin⁡2z=cosh⁡2z+cos⁡2z−2, \sinh^2 z - \sin^2 z = \cosh^2 z + \cos^2 z - 2, sinh2zsin2z=cosh2z+cos2z2,
(cosh⁡z−cos⁡z)2−(cosh⁡2z+cos⁡2z−2)=−2cosh⁡zcos⁡z+2=0, (\cosh z - \cos z)^2 - (\cosh^2 z + \cos^2 z - 2) = -2 \cosh z \cos z + 2 = 0, (coshzcosz)2(cosh2z+cos2z2)=2coshzcosz+2=0,
所以频率方程为:
cosh⁡zcos⁡z=1,z=μl. \cosh z \cos z = 1, \quad z = \mu l. coshzcosz=1,z=μl.
特征值 λ=Kμ4=K(zl)4 \lambda = K \mu^4 = K \left( \frac{z}{l} \right)^4 λ=Kμ4=K(lz)4,角频率 ω=λ=K(zl)2 \omega = \sqrt{\lambda} = \sqrt{K} \left( \frac{z}{l} \right)^2 ω=λ=K(lz)2。频率 ωn \omega_n ωn 对应方程 cosh⁡zcos⁡z=1 \cosh z \cos z = 1 coshzcosz=1 的根 zn z_n zn.

特征函数为:
Xn(x)=[cosh⁡(μnx)−cos⁡(μnx)]+bn[sinh⁡(μnx)−sin⁡(μnx)], X_n(x) = \left[ \cosh(\mu_n x) - \cos(\mu_n x) \right] + b_n \left[ \sinh(\mu_n x) - \sin(\mu_n x) \right], Xn(x)=[cosh(μnx)cos(μnx)]+bn[sinh(μnx)sin(μnx)],
其中 μn=znl \mu_n = \frac{z_n}{l} μn=lzn, bn=−sinh⁡zn+sin⁡zncosh⁡zn−cos⁡zn b_n = - \frac{\sinh z_n + \sin z_n}{\cosh z_n - \cos z_n} bn=coshzncosznsinhzn+sinzn, 且 zn z_n zncosh⁡zcos⁡z=1 \cosh z \cos z = 1 coshzcosz=1 的根。

(b) 图形化解频率方程

定义函数:
f(z)=cosh⁡zcos⁡z−1. f(z) = \cosh z \cos z - 1. f(z)=coshzcosz1.
求解 f(z)=0 f(z) = 0 f(z)=0 等价于求 cosh⁡zcos⁡z=1 \cosh z \cos z = 1 coshzcosz=1 的根。绘制 f(z) f(z) f(z) 对于 z>0 z > 0 z>0 的图像(因为特征值正),交点 (zn,0) (z_n, 0) (zn,0) 给出 ωn=K(znl)2 \omega_n = \sqrt{K} \left( \frac{z_n}{l} \right)^2 ωn=K(lzn)2.

  • 函数行为
    • f(0)=cosh⁡0cos⁡0−1=0 f(0) = \cosh 0 \cos 0 - 1 = 0 f(0)=cosh0cos01=0(平凡解,无效)。
    • 对于小 z>0 z > 0 z>0f(z)≈−z44<0 f(z) \approx -\frac{z^4}{4} < 0 f(z)4z4<0.
    • z=π/2≈1.57 z = \pi/2 \approx 1.57 z=π/21.57f(π/2)=cosh⁡(π/2)⋅0−1=−1<0 f(\pi/2) = \cosh(\pi/2) \cdot 0 - 1 = -1 < 0 f(π/2)=cosh(π/2)01=1<0.
    • z=π≈3.14 z = \pi \approx 3.14 z=π3.14f(π)=cosh⁡(π)⋅(−1)−1≈−24.097<0 f(\pi) = \cosh(\pi) \cdot (-1) - 1 \approx -24.097 < 0 f(π)=cosh(π)(1)124.097<0.
    • z=2π≈6.28 z = 2\pi \approx 6.28 z=2π6.28f(2π)=cosh⁡(2π)⋅1−1≈266.744>0 f(2\pi) = \cosh(2\pi) \cdot 1 - 1 \approx 266.744 > 0 f(2π)=cosh(2π)11266.744>0.
  • 根的位置:在 (π,2π) (\pi, 2\pi) (π,2π)(2π,3π) (2\pi, 3\pi) (2π,3π)(3π,4π) (3\pi, 4\pi) (3π,4π) 等区间有根。例如,第一根 z1≈4.730 z_1 \approx 4.730 z14.730,第二根 z2≈7.853 z_2 \approx 7.853 z27.853,等。
  • 绘图:使用计算软件(如 MATLAB、Python)绘制 f(z) f(z) f(z)
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as pltz = np.linspace(0, 10, 1000)
    f = np.cosh(z) * np.cos(z) - 1plt.plot(z, f)
    plt.axhline(0, color='r', linestyle='--')
    plt.xlabel('z')
    plt.ylabel('f(z)')
    plt.title('Graphical Solution of $\cosh z \cos z = 1$')
    plt.grid(True)
    plt.show()
    
    交点 zn z_n zn 给出频率 ωn \omega_n ωn.

© 特征函数正交性证明

考虑特征值问题:X(4)=γX X^{(4)} = \gamma X X(4)=γXγ=μ4=λ/K \gamma = \mu^4 = \lambda / K γ=μ4=λ/K,边界条件 X(0)=X′(0)=X(l)=X′(l)=0 X(0) = X'(0) = X(l) = X'(l) = 0 X(0)=X(0)=X(l)=X(l)=0。设 γm≠γn \gamma_m \neq \gamma_n γm=γn 对应特征函数 Xm,Xn X_m, X_n Xm,Xn

由分部积分:
∫0lXm(4)Xndx=[Xm′′′Xn−Xm′′Xn′+Xm′Xn′′−XmXn′′′]0l+∫0lXmXn(4)dx. \int_0^l X_m^{(4)} X_n dx = \left[ X_m''' X_n - X_m'' X_n' + X_m' X_n'' - X_m X_n''' \right]_0^l + \int_0^l X_m X_n^{(4)} dx. 0lXm(4)Xndx=[XmXnXmXn+XmXnXmXn]0l+0lXmXn(4)dx.
边界条件下,所有端点项为零(因为 Xm,Xn X_m, X_n Xm,Xn 及其一阶导数为零)。所以:
∫0lXm(4)Xndx=∫0lXmXn(4)dx. \int_0^l X_m^{(4)} X_n dx = \int_0^l X_m X_n^{(4)} dx. 0lXm(4)Xndx=0lXmXn(4)dx.
代入 Xm(4)=γmXm X_m^{(4)} = \gamma_m X_m Xm(4)=γmXm, Xn(4)=γnXn X_n^{(4)} = \gamma_n X_n Xn(4)=γnXn:
γm∫0lXmXndx=γn∫0lXmXndx, \gamma_m \int_0^l X_m X_n dx = \gamma_n \int_0^l X_m X_n dx, γm0lXmXndx=γn0lXmXndx,
(γm−γn)∫0lXmXndx=0. (\gamma_m - \gamma_n) \int_0^l X_m X_n dx = 0. (γmγn)0lXmXndx=0.
因为 γm≠γn \gamma_m \neq \gamma_n γm=γn,有:
∫0lXmXndx=0. \int_0^l X_m X_n dx = 0. 0lXmXndx=0.
所以特征函数正交。

(d) 特征值简单性证明(奖励)

γ \gamma γ 为特征值,X1,X2 X_1, X_2 X1,X2 为对应特征函数。通解为:
X(x)=A[cosh⁡(μx)−cos⁡(μx)]+B[sinh⁡(μx)−sin⁡(μx)],μ=γ1/4. X(x) = A [\cosh(\mu x) - \cos(\mu x)] + B [\sinh(\mu x) - \sin(\mu x)], \quad \mu = \gamma^{1/4}. X(x)=A[cosh(μx)cos(μx)]+B[sinh(μx)sin(μx)],μ=γ1/4.
边界条件 X(l)=0 X(l) = 0 X(l)=0, X′(l)=0 X'(l) = 0 X(l)=0 给出关于 A,B A, B A,B 的齐次线性系统:
A(cosh⁡z−cos⁡z)+B(sinh⁡z−sin⁡z)=0, A (\cosh z - \cos z) + B (\sinh z - \sin z) = 0, A(coshzcosz)+B(sinhzsinz)=0,
A(sinh⁡z+sin⁡z)+B(cosh⁡z−cos⁡z)=0, A (\sinh z + \sin z) + B (\cosh z - \cos z) = 0, A(sinhz+sinz)+B(coshzcosz)=0,
其中 z=μl z = \mu l z=μl. 特征方程 cosh⁡zcos⁡z=1 \cosh z \cos z = 1 coshzcosz=1 使系数矩阵行列式为零,故方程线性相关。因此解空间一维,A A AB B B 成比例,特征函数在常数倍下唯一,即特征值简单。

(e) 特征函数草图(奖励,描述)

使用计算软件绘制前几个特征函数。以 l=1 l=1 l=1, K=1 K=1 K=1 为例,根 zn z_n zn 满足 cosh⁡zcos⁡z=1 \cosh z \cos z = 1 coshzcosz=1

  • z1≈4.730 z_1 \approx 4.730 z14.730, μ1=z1/l≈4.730 \mu_1 = z_1 / l \approx 4.730 μ1=z1/l4.730, b1≈−1.000 b_1 \approx -1.000 b11.000.
  • z2≈7.853 z_2 \approx 7.853 z27.853, μ2=z2/l≈7.853 \mu_2 = z_2 / l \approx 7.853 μ2=z2/l7.853, b2≈−1.000 b_2 \approx -1.000 b21.000.

特征函数:
Xn(x)=[cosh⁡(μnx)−cos⁡(μnx)]+bn[sinh⁡(μnx)−sin⁡(μnx)]. X_n(x) = [\cosh(\mu_n x) - \cos(\mu_n x)] + b_n [\sinh(\mu_n x) - \sin(\mu_n x)]. Xn(x)=[cosh(μnx)cos(μnx)]+bn[sinh(μnx)sin(μnx)].

Python 代码示例:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltl = 1
z_roots = [4.730, 7.853]  # 前两个根
b_values = [-1.000, -1.000]  # 近似 b_nx = np.linspace(0, l, 100)
plt.figure(figsize=(10, 6))for i, (z, b) in enumerate(zip(z_roots, b_values)):mu = z / lX = (np.cosh(mu * x) - np.cos(mu * x)) + b * (np.sinh(mu * x) - np.sin(mu * x))plt.plot(x, X, label=f'$X_{i+1}(x)$')plt.title('First Eigenfunctions for Clamped Beam')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('X(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

草图描述:

  • X1(x) X_1(x) X1(x):类似正弦波,一个半波,满足边界条件。
  • X2(x) X_2(x) X2(x):两个半波,节点数增加。

结果应显示特征函数在端点处斜率和值为零。


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