动态规划题解——最长递增子序列【LeetCode】记忆化搜索方法

300. 最长递增子序列

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一、算法逻辑（逐步思路）

❓ 问题描述：

给定一个整数数组 nums，找出其中最长严格递增子序列的长度。

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✅ 解题思路（DFS + 记忆化）

1. 定义递归函数：

dfs(i) 表示：以 nums[i] 为结尾的最长递增子序列的长度

2. 转移逻辑：

• 对于位置 i，你要去找 0~i-1 所有小于 nums[i] 的前缀 j；
• 对每个满足 nums[j] < nums[i] 的位置 j：

• • 当前以 nums[i] 为结尾的序列长度可以是：dfs(j) + 1
  • 所以取其中的最大值。

3. 递归基：

• dfs(i) 至少为 1，因为每个元素自身就是一个长度为 1 的递增子序列。

4. 最终答案：

• 所有 dfs(i) 中的最大值，即 max(dfs(i) for i in range(n))。

5. 使用 @cache 做记忆化，避免重复递归计算。

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二、算法核心点

✅ 核心思想：“以 i 结尾”模型 + 记忆化 DFS

• 每一个位置都试图作为“递增序列的终点”，寻找它前面的合法子结构；
• 这是 LIS 问题的经典思维方式（不同于“以 i 开头”的方式）；
• 记忆化可以有效避免指数级递归爆炸。

class Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:@cachedef dfs(i:int)-> int:res = 0for j in range(i):if nums[j] < nums[i]:res = max(res, dfs(j))return res+1return max(dfs(i) for i in range(len(nums)))

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三、复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²)

• • 一共 n 个位置；
  • 每个 dfs(i) 至多遍历前 i 个位置（最多 n 次）；
  • 加上缓存，每个状态只算一次。

• 空间复杂度：O(n)

• • 缓存表大小为 n；
  • 递归栈最大深度为 n。

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总结表：

维度	内容
✅ 思路逻辑	每个位置向前查找比它小的数，递归求以该位置为结尾的 LIS 长度
✅ 核心技巧	转化为“以 i 结尾”的子问题；记忆化避免重复递归
✅ 时间复杂度	O(n²)，两层循环（递归 + 遍历前缀）
✅ 空间复杂度	O(n)，记忆表和递归栈大小

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💡 拓展建议

• 如果你想进一步优化时间到 O(n log n)，可以使用贪心 + 二分法的经典 LIS 做法（如使用 bisect 插入维护当前最小末尾值序列）；
• DFS 写法适合初步掌握问题结构，DP/贪心更适合大数据场景。