week3

408

算法

18.二叉树

二叉树的顺序存储的常考点：

1. i的左孩子：2i
2. i的右孩子：2i+1
3. i的父节点：$\lfloor i/2\rfloor$
4. i所在的层次：$\lceil {\log }_{2}n+1\rceil$

链式存储：

n个结点的二叉链表共有n+1个空链域
三叉链表：在原先的基础上加上父节点指针

二叉树的遍历：

1. 先序遍历：根左右
2. 中序遍历：左根右
3. 后序遍历：左右根

通过其中两个遍历的结果推算二叉树的构造是考试的重点
先序遍历算法：

层次遍历：一层一层遍历二叉树
算法：

思路：

1. 初始化一个辅助队列
2. 根结点入队
3. 若队列非空，则队头结点出队，访问该结点，将其左右孩子入队
4. 重复3直到队空

19.线索二叉树

分前中后序遍历，线索就是将前驱和后继记录下来
线索二叉树的作用就是方便找前驱和后继
中序线索化：

先序线索化：

20.树的存储方式

①双亲表示法：顺序存储，用数组和数组长度来记录
缺点：找孩子不方便，要遍历整个数组
②孩子表示法：顺序存储+链式存储。用数组顺序存储各个结点，每个结点中保存数据元素、孩子链表头指针
缺点：找双亲不方便
③孩子兄弟表示法：每个结点保存数据、指向第一个孩子的指针、指向右边一个兄弟的指针

上述三个存储方法都可以存储森林

21.树、森林、二叉树的转换

树->二叉树：

1. 先在二叉树中，画一个根节点
2. 按孩子兄弟表示法依次处理每个结点

森林->二叉树：

1. 先把所有树的根节点画出来，在二叉树中用右指针串成糖葫芦
2. 按"森林的层序"依次处理每个结点

二叉树->树：

1. 先画出树的根节点
2. 从树的根节点开始，按"树的层序"依次处理每个结点

二叉树->森林：

1. 先把二叉树的根节点和"一整串右指针糖葫芦"拆下来，作为多棵树的根节点
2. 按"森林的层序"依次恢复每个结点的孩子

本质：用孩子兄弟表示法存储树或者森林，在形态上与二叉树类似
用孩子兄弟表示法存储森林时，将森林的每棵树的根节点视为平级的兄弟关系

22.树和森林的遍历

树：先根遍历、后根遍历、层序遍历

森林：先序遍历、中序遍历、后序遍历(等效于对用孩子兄弟表示法表示的森林进行相应遍历)

23.哈夫曼树

结点的权：每个结点自身所带的数值
结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度(经过的边数)与该结点上权值的乘积(只计算叶子结点)
$WPL={\sum }_{i=1}^n{w}_i\ast l_i$

在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度(WPL)最小的二叉树称为哈夫曼树(最优二叉树)

构造哈夫曼树：

1. 将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F
2. 构造一个新结点，从F中选最小的两个结点作为新节点的左右子树，并且将新结点的权值改为左右子树根结点的权值之和
3. 从F中删除刚选出的两棵树，同时将新得到的树加入F
4. 重复2、3，直到F中只剩下一棵树

哈夫曼树的结点总数为2n-1
哈夫曼树中不存在度为1的结点
哈夫曼树不唯一，但是WPL必然同样为最优

哈夫曼编码：
根据英文字母的使用频率，将其构造成一个哈夫曼树，左子树为0右子树为1，这样构造出来的编码可以减少电报的长度
相关概念：
固定长度编码：每个字符用相等长度的二进制位表示
可变长度编码：每个字符用可变长度的二进制位表示
若没有一个编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码是前缀编码

24.并查集

并查集：集合的一种特殊形式，只需要合并和查找两种操作

find操作的优化(压缩路径，对多次查找有优化)：

优化后，find操作的时间复杂度(多次查找)：O(α(n))，union操作的时间复杂度：O(log2(n))

25.图

图由顶点集V和边集E组成，记为G=(V, E)，E(G)表示G中顶点之间的关系集合，|V|表示图G中顶点的个数，也称图G的阶，用|E|表示图G中边的条数
注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图一定不为空
无向图：E是无向边的集合，有向图：E是有向边的集合
简单图、多重图：

对于无向图：顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数
对于有向图：分为入度(ID)和出度(OD)，顶点的度(TD)为入度与出度之和
路径：顶点v1到vn的一条路径是指顶点序列
回路：v1和vn是同一个点
简单路径：顶点不重复
简单回路：同上
路径长度：路径上边的数目
点到点的距离：若最短路径存在，则此路径的长度称为距离；若不存在，则距离为∞
无向图中，若顶点v和顶点w有路径存在，则v和w是连通的
有向图中，若顶点v到顶点w和顶点w到顶点v之间都有路径，则v和w是强连通的
无向图中，若任意两个顶点都是连通的，则是连通图
有向图中，若任意两个顶点都是强连通的，则是强连通图
常见考点：

1. G是无向连通图，则最少有n-1条边
2. G是无向非连通图，则最多有$C_{n-1}^2$条边
3. G是强连通图，则最少有n条边

若G’与G的顶点完全相同，则称G’为G的生成子图
无向图中的极大连通子图(包含尽可能多的顶点和边)称为连通分量
有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量
连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图(边要尽可能的少，但要连通)
非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林

边的权：边自身携带的数值
带权图：边上有权的图
带权路径长度：带权图中，一条路径上所有边的权值之和

无向完全图：任意两个顶点之间存在边
有向完全图：任意两个点都强连通
树：不存在回路，且连通的无向图
有向树：一个顶点的入度为0，其余为1的有向图

邻接矩阵表示法：1表示邻接
如果是有向图，第i个结点的度=第i行的非零元素个数+第i列非零元素的个数
无向图的邻接矩阵是对称的，因此可以用压缩矩阵的方法压缩存储
性质：图G的邻接矩阵为A，则$A^n$的元素$A^n[i][j]$等于顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目
缺点：空间复杂度高，只适合存储稠密图

邻接表表示法：

分别存储元素的信息和与元素相接的元素的指针
缺点：计算入度、出度不方便，只适合存储稀疏图

十字链表法：

缺点：只能存储有向图

邻接多重表法：

缺点：只能存储无向图

图的基本操作：

<x, y>表示有向弧，(x, y)表示无向弧

26.BFS广度优先搜索

空间复杂度(没说默认最坏情况)：O(|V|)
对于用邻接矩阵存储的图，时间复杂度是O(|V|^2)
对于用邻接表存储的图，时间复杂度是O(|V|+|E|)

广度优先生成树：根据BFS的搜索过程产生的生成树
邻接矩阵的广度优先生成树是唯一的，而邻接表的广度优先生成树是不唯一的

27.DFS深度优先搜索

DFS与先序遍历类似：

空间复杂度(没说默认最坏情况)：O(|V|)
对于用邻接矩阵存储的图，时间复杂度是O(|V|^2)
对于用邻接表存储的图，时间复杂度是O(|V|+|E|)
深度优先生成树：根据DFS的搜索过程产生的生成树

28.最小生成树

①Prim算法：从最小的顶点开始构建生成树，每次将代价最小的顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止

从农村开始，顺序是35142

②Kruskal算法：每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通(原本连通的就不选)，直到所有结点都连通

顺序是12345，学校和矿场连通，所以不选这个5，而是农场和P城之间的5

29.最短路径问题

①在进行BFS的时候顺便算出路径的长度：

时间复杂度：O(|V|^2)或O(|V|+|E|)
缺点：不适用于带权图

②Dijstrak算法：

1. 循环遍历所有点，找到还没确定最短路径，且dist(distance)最小的顶点Vi，令final[i]=true
2. 检查所有邻接自Vi的顶点，若其final值为false，则更新dist和path信息

时间复杂度：O(|V|^2)

③floyd算法：

1. 初始化：不允许中转的情况下，算出最短路径的矩阵，并将中转矩阵path设为-1
2. 若$A^{(k-1)}>A^{(k-1)}[i][k]+A^{(k-1)}[k][j]$
3. 则$A^{(k)}=A^{(k-1)}[i][k]+A^{(k-1)}[k][j]$，$pat{h}^{(k)}=k$
4. 否则$A^{(k)}$和$pat{h}^{(k)}$保持原值

手算比较复杂，但代码很简单：

时间复杂度：O(|V|^3)
优点：能计算带负权值的图

30.有向无环图(DAG)描述表达式

图中的有向无环图有可以合并的部分
找到最少顶点的有向无环图的方法：

1. 把各个操作数不重复地排一排
2. 标出各个运算符的生效顺序
3. 按顺序加入运算符(注意分层)
4. 从底向上逐层检查同层的运算符是否可以合体

最简的图：

有向无环图的最优解也不唯一

31.拓扑排序

AOV网：用顶点表示活动的网，是有向无环图的一种
拓扑排序：

1. 从AOV网中选择一个没有入度为0的顶点并输出
2. 从王忠删除该顶点和所有以它为起点的有向边
3. 重复1和2直到AOV网为空

拓扑排序也不唯一
代码实现：

(不一定要用栈，队列或其它也可以)

逆拓扑排序：

1. 从AOV网中选择一个出度为0的顶点并输出
2. 从王忠删除该顶点和所有以它为终点的有向边
3. 重复1和2直到AOV网为空

32.关键路径

AOE网：顶点表示事件，有向边表示完成该事件的活动的开销的带权有向图
只有完成事件A的所有前驱事件，才能进行事件A
源点：开始顶点，汇点：结束顶点
从源点到汇点的所有路径中长度最大的就是关键路径，关键路径上的活动称为关键活动
求关键路径：

1. 求所有事件的最早发生时间ve()：拓扑排序后，ve(源点)=0，ve(k)=Max{ve(j)+Weight(vj,vk)}(vj为vk的任意前驱)
2. 求所有时间的最迟发生时间vl()：逆拓扑排序后，vl(汇点)=ve(汇点)，vl(k)=Min{vl(j)-Weight(vk,vj)}(vj为vk的任意后继)
3. 求所有活动的最早发生时间e()：e(i) = ve(k)(<vk,vj>表示活动ai)
4. 求所有活动的最迟发生时间l()：l(i)=vl(j)-Weight(vk,vj)(<vk,vj>表示活动ai)
5. 求所有活动的时间余量d()：d(i)=l(i)-e(i)
6. 时间余量为0的就是关键活动：d(i)=0

若关键活动耗时增加，则整个工程的工期将增长
缩短关键活动的时间，可以缩短整个工程的工期
当缩短到一定程度时，关键活动可能会变成非关键活动

33.查找算法

相关概念：
查找表：用于查找的数据集合
关键字：数据元素中唯一标示该元素的某个数据项的值
查找长度：对比关键字的次数
平均查找长度(ASL)：所有查找过程中进行关键字比较的平均次数

①顺序查找：一个一个找
时间复杂度：O(n)
用查找判定树分析ASL：

若查找成功，则$AS{L}_{成功}=\frac{1+2+...+n}{n}=\frac{n+1}{2}$
$AS{L}_{失败}=n+1$
如果优化一下，将查找表排序，则$AS{L}_{失败}=\frac{1+2+...+n+n}{n+1}=\frac{n}{2}+\frac{n}{n+1}$