【同等学力-计算机-真题解析】离散数学-图论（握手定理、欧拉公式）
在同等学力申硕计算机专业的离散数学考试中，图论也是高频考点，而握手定理和欧拉公式更是贯穿图论题型的核心工具。
本文将结合真题，系统拆解这两个定理的考点、解题技巧及常见陷阱，帮助考生快速掌握解题思路。
一、握手定理：图论的 "基本算术"
握手定理是图论中最基础的定理，几乎所有与顶点度数相关的题目都需要用到它。其核心思想源于 "无向图中边与顶点度数的守恒关系"，掌握它能快速解决度数计算、奇偶性判断等问题。
1.1 核心考点与公式
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基本定理：对任意无向图 G = (V, E)，所有顶点的度数之和等于边数的 2 倍，即：∑_{v ∈ V} d(v) = 2|E|（其中 d(v) 表示顶点 v 的度数，|E| 为边数）
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重要推论：度数为奇数的顶点个数必为偶数（因左侧和为偶数，奇数个奇数相加为奇数，矛盾）。
1.2 真题解析：从基础计算到性质证明
题型 1：直接应用定理计算边数或度数
例题（2013 年真题）：
设 G = (V, E) 是顶点集为 V、边集为 E 的图，令 D(G) = ( ∑_{v ∈ V} d(v)) )/{|V|}，则用 D(G) 和 |V| 表示 |E| 的表达式为______。
解析： 根据握手定理，总度数 ∑ d(v) = 2|E|，而 D(G) 是平均度数，即 ∑ d(v) = |V| ⋅ D(G)。
联立得：|V| ⋅ D(G) = 2|E| ⟹ |E| = ( |V| ⋅ D(G) )/{2}
答案：|E| = ( |V| ⋅ D(G) )/{2}
题型 2：利用推论判断顶点奇偶性
例题（2013 年真题）：
任意一个图中度数是奇数的顶点个数一定是______。
解析：
直接应用推论，奇数度顶点个数必为偶数。
答案：偶数
题型 3：结合树的性质证明
例题（2020 年真题）：
设 k 是简单图 G 的顶点度数的最小值，证明 G 包含一条长度至少为 k 的路。
解析： 采用反证法：
- 假设最长路长度 l ≤ k-1，设这条路的起点为 v_0，则 v_0 的度数 d(v_0) ≥ k（因 k 是最小度数）。
- 由于路长为 l，v_0 最多与路上的 l 个顶点相邻，即最多连接 l ≤ k-1 个顶点。
- 但 d(v_0) ≥ k，故必存在一个与 v_0 相邻的顶点不在最长路上，可延长路长，与假设矛盾。 因此最长路长度至少为 k。
1.3 解题技巧总结
- 总度数必为偶数：若计算总度数为奇数，说明步骤有误（如漏算顶点或度数）。
- 奇偶性优先判断：遇到 "奇数度顶点个数" 类问题，直接用推论秒杀。
- 结合其他性质：树（边数 m = n-1）、正则图（各顶点度数相等）等场景中，需联立握手定理与图形特有性质。
二、欧拉公式：平面图的 "守恒定律"
欧拉公式是平面图的核心定理，描述了顶点数、边数和面数的关系，常用于求解平面图的边数、面数，或证明图形非平面图。
2.1 核心考点与公式
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基本公式：对连通平面图 G = V, E，有：v - e + f = 2 （其中 v = |V| 为顶点数，e = |E| 为边数，f 为面数，包括外部无限面）。
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扩展应用：结合握手定理（面的度数之和为 2e，因每条边属于两个面），可推导边数上限： 若每个面度数至少为 k（简单平面图 k ≥ 3），则 2e ≥ kf ⟹ f ≤ {2e}/{k}，代入欧拉公式得 e ≤ {k(v-2)}/{k-2}。
2.2 真题解析：从公式变形到综合应用
题型 1：直接求边数或面数
例题（2014/2022 年真题）： 顶点 n ≥ 3 的简单连通平面图，每个面的度数为 3，则此图的边数为______。
解析：
- 已知 v = n，每个面度数为 3，故面的总度数为 3f = 2e ⟹ f = {2e} / {3}。
- 代入欧拉公式 v - e + f = 2：n - e + {2e}/{3} = 2 ⟹ n - {e}/{3} = 2 ⟹ e = 3n-2。
答案：3n - 6 。
题型 2：结合对偶图性质
例题（2018 年真题）： 若平面图 G 是自对偶的（与对偶图同构），则顶点数 n 与边数 m 满足的关系为______。
解析：
- 自对偶图中，顶点数 n 等于对偶图的面数，而对偶图的面数等于原 graph 的顶点数 n，故 f = n。
- 代入欧拉公式 n - m + n = 2 ⟹ m = 2n - 2。
答案：m = 2n - 2
题型 3：证明非平面图
例题（拓展题）：证明 K_5（5 个顶点的完全图）不是平面图。
解析：
- K_5 中 v = 5，e = 10（每对顶点连边）。
- 若为平面图，每个面度数至少为 3，由 e ≤ 3v-2 = 9（见 2.1 扩展公式）。
- 但 10 > 9，矛盾，故非平面图。
2.3 解题技巧总结
- 面数计算必含外部面：平面图的面数包括最外侧的无限面，忽略会导致结果错误。
- 公式变形记熟：常用 f = e - v + 2 和 e = v + f - 2，根据已知量选择合适形式。
- 非平面图判定：若边数超过 3v-2（简单平面图上限），则必为非平面图。
三、高频考点对比与综合应用
| 定理 | 核心公式 | 适用场景 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| 握手定理 | ∑ d(v) = 2e | 所有图（无向） | 忽略度数总和为偶数的隐含条件 |
| 欧拉公式 | v - e + f = 2 | 连通平面图 | 忘记计算外部面 |
综合例题： 设连通平面图有 6 个顶点，每个顶点度数均为 3，求该图的面数。
解析：
- 由握手定理：总度数 6 × 3 = 18 = 2e ⟹ e = 9。
- 代入欧拉公式：6 - 9 + f = 2 ⟹ f = 5。
答案：5
四、备考建议与资源
- 定理本质理解：握手定理体现 "边与度数的守恒"，欧拉公式体现 "平面图的拓扑不变性"，不要死记公式。
- 真题分类练习：按 "度数计算"" 奇偶性判断 ""边数 / 面数求解"" 非平面图证明 " 分类刷题，总结套路。
- 综合题拆解：复杂题目可拆分为 "用握手定理求边数"→"用欧拉公式求面数" 等步骤，分步突破。
- 真题资料获取
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通过以上拆解，相信考生能快速掌握握手定理与欧拉公式的核心考点，在考试中应对自如。最后，建议结合真题反复练习，强化公式应用的熟练度！