图机器学习（1）——图论基础

0. 前言

图 (Graph) 是一种描述实体间关系的数学结构，几乎在各个领域都有应用。例如，社交网络就是图，其中用户之间的连接取决于一个用户是否“关注”另一个用户；图也可以用于表示地图，其中城市通过道路相连接；生物结构、网页链接乃至神经疾病的演变过程均可由图来描述。
图论，即对图的研究，一直以来广受关注，包含了大量算法、性质分析方法和数学模型，以解析复杂系统的行为特征。
本节将介绍图数据结构的核心概念，通过理论阐述与实例演示相结合的方式，理解基础理论用以实践应用。重点介绍用于创建、操作和研究复杂网络结构与功能的 Python 库。

1. 使用 networkx 初识图结构

本节将介绍图论基础概念，并通过 Python 代码片段(基于 networkx 库)实现理论与实践的结合。

1.1 图论基础

一个简单的无向图(或简称图，Graph) $G$ 定义为二元组 $G=(V,E)$，其中 V={v1,v2,...,vn}V=\{v_1, v_2, ..., v_n\}V={v1​,v2​,...,vn​} 表示节点( node，或称顶点，vertice )集合， $E=\{(v_1,v_2),...,(v_n,v_m)\}$ 表示边( edge，或称连接，link )集合，每条边由 $V$ 中两个节点构成的无序对组成。
需要注意的是，由于E中的元素均为无序二元组，因此每条边之间没有顺序关系。具体来说，{v1,v2}\{v_1,v_2\}{v1​,v2​} 与 {v2,v1}\{v_2,v_1\}{v2​,v1​} 表示同一条边。
接下来，我们介绍图和节点的基本属性定义：

• 图的阶 (order) 是其顶点的数量 $|V|$，图的大小是其边的数量 $|E|$
• 顶点的度 (degree) 是与该顶点相邻的边的数量
• 图 $G$ 中一个顶点 $v$ 的邻居 (neighbor) 是由所有与 $v$ 相邻的顶点构成的子集
• 图 $G$ 中顶点 $v$ 的邻域图( neighborhood graph，也称为自我图，ego graph )是一个由与 $v$ 相邻的顶点及所有连接这些顶点的边组成的子图

简单的无向图如下所示：

根据这种表示方法，由于没有方向，从 Beijing 到 Baoding 的边与从 Baoding 到 Beijing 的边是相等的。因此，可以在这两个方向上自由移动。分析上图中所示图结构的性质，可以看到它的阶数和大小都等于 4 (总共有四个顶点和四条边)。Beijing 和 Tangshan 顶点的度为 2，Baoding 的度为 3，Langfang 的度为 1。每个节点的邻居如下所示：

• Tangshan = {Beijing, Baoding}
• Baoding = {Beijing, Langfang, Tangshan}
• Beijing = {Baoding, Tangshan}
• Langfang = {Baoding}

在 networkx 中可通过以下代码实现该图结构：

import networkx as nx
G = nx.Graph() 
V = {'Beijing', 'Langfang', 'Tangshan', 'Baoding'} 
E = [('Beijing','Baoding'), ('Beijing','Tangshan'), ('Baoding','Langfang'), ('Baoding','Tangshan')] 
G.add_nodes_from(V) 
G.add_edges_from(E) 

默认情况下，nx.Graph() 生成无向图，因此无需为每条边指定双向关系。networkx 允许节点为任何可哈希对象，包括字符串、类对象甚至其他 networkx 图对象。接下来，计算已生成图的基础属性。

1.2 图的基础属性

(1) 获取图中所有节点和边：

print(f"V = {G.nodes}") 
print(f"E = {G.edges}") 

输出结果如下所示：

V = ['Tangshan', 'Baoding', 'Beijing', 'Langfang']
E = [('Tangshan', 'Beijing'), ('Tangshan', 'Baoding'), ('Baoding', 'Beijing'), ('Baoding', 'Langfang')]

(2) 计算图的阶数、大小，以及每个节点的度和邻域：

print(f"Graph Order: {G.number_of_nodes()}") 
print(f"Graph Size: {G.number_of_edges()}") 
print(f"Degree for nodes: { {v: G.degree(v) for v in G.nodes} }") 
print(f"Neighbors for nodes: { {v: list(G.neighbors(v)) for v in G.nodes} }") 

输出结果如下所示：

Graph Order: 4
Graph Size: 4
Degree for nodes: {'Tangshan': 2, 'Baoding': 3, 'Beijing': 2, 'Langfang': 1}
Neighbors for nodes: {'Tangshan': ['Beijing', 'Baoding'], 'Baoding': ['Beijing', 'Langfang', 'Tangshan'], 'Beijing': ['Baoding', 'Tangshan'], 'Langfang': ['Baoding']}

(3) 计算特定节点的邻域图 (ego graph)：

ego_graph_milan = nx.ego_graph(G, "Baoding") 
print(f"Nodes: {ego_graph_milan.nodes}") 
print(f"Edges: {ego_graph_milan.edges}") 

输出结果如下所示：

Nodes: ['Tangshan', 'Baoding', 'Beijing', 'Langfang']
Edges: [('Tangshan', 'Beijing'), ('Tangshan', 'Baoding'), ('Baoding', 'Beijing'), ('Baoding', 'Langfang')]

(4) 通过添加新节点或边修改原始图：

new_nodes = {'Tianjin', 'Chengde'} 
new_edges = [('Tianjin','Langfang'), ('Chengde','Beijing')] 
G.add_nodes_from(new_nodes) 
G.add_edges_from(new_edges) 
print(f"V = {G.nodes}") 
print(f"E = {G.edges}") 

输出结果如下所示：

V = ['Tangshan', 'Baoding', 'Beijing', 'Langfang', 'Chengde', 'Tianjin']
E = [('Tangshan', 'Beijing'), ('Tangshan', 'Baoding'), ('Baoding', 'Beijing'), ('Baoding', 'Langfang'), ('Beijing', 'Chengde'), ('Langfang', 'Tianjin')]

(5) 删除节点(关联边会自动从边列表中删除)：

node_remove = {'Tianjin', 'Chengde'} 
G.remove_nodes_from(node_remove) 
print(f"V = {G.nodes}") 
print(f"E = {G.edges}") 

输出结果如下所示：

V = ['Tangshan', 'Baoding', 'Beijing', 'Langfang']
E = [('Tangshan', 'Beijing'), ('Tangshan', 'Baoding'), ('Baoding', 'Beijing'), ('Baoding', 'Langfang')]

(6) 删除指定边：

node_edges = [('Tangshan','Baoding'), ('Baoding','Beijing')] 
G.remove_edges_from(node_edges) 
print(f"V = {G.nodes}") 
print(f"E = {G.edges}") 

输出结果如下所示：

V = ['Tangshan', 'Baoding', 'Beijing', 'Langfang']
E = [('Tangshan', 'Beijing'), ('Baoding', 'Langfang')]

networkx 库还支持单节点/边删除操作：

• 删除单个节点：G.remove_node('Langfang')
• 删除单条边：G.remove_edge('Baoding','Tangshan')

2. 图的类型

在上一小节中，我们介绍了如何创建和修改简单无向图。接下来，我们将介绍如何通过有向图、加权图和多重图来扩展基础数据结构，以封装更多信息。

2.1 有向图

有向图 (Digraphs) $G$ 定义为二元组 $G=(V,E)$，其中 V={v1,v2,...,vn}V=\{v_1, v_2, ..., v_n\}V={v1​,v2​,...,vn​} 是节点集合， $E=\{(v_1,v_2),...,(v_n,v_m)\}$ 是表示连接 $V$ 中两个节点之间关系的有序对的集合。
由于 $E$ 中的每个元素(边)都是有序对，具有明确的方向区分。边 $(V_w,V_k)$ 表示节点 $V_w$ 指向 $V_k$ 的连接关系，这与 $(V_k,V_w)$ 不同——后者表示的是节点 $V_k$ 指向 $V_w$ 的连接。起始节点 $V_w$ 称为头 (head)，结束节点 $V_k$ 称为尾 (tail)。由于存在边的方向，节点度的定义需要扩展。

入度和出度
对于一个节点 $v$，以 $v$ 为尾节点的边数称为入度( indegree，用 $de{g}^{-}(v)$ 表示)，而以 $v$ 为头节点的边数称为出度( outdegree，用$de{g}^{+}(v)$ 表示)。
如下所示是一个典型的有向图：

方向通过箭头表示——例如，Baoding-> Beijing 表示从 Baoding 到 Beijing。Beijing 的入度 $de{g}^{-}(v)=2$，出度 $de{g}^{+}(v)=0$，Tangshan 的入度 $de{g}^{-}(v)=0$，出度 $de{g}^{+}(v)=2$，Baoding 的入度 $de{g}^{-}(v)=1$，出度 $de{g}^{+}(v)=2$，Langfang 的入度 $de{g}^{-}(v)=1$，出度 $de{g}^{+}(v)=0$。
在 networkx 中可通过以下代码实现该有向图结构：

G = nx.DiGraph() 
V = {'Beijing', 'Tangshan', 'Baoding', 'Langfang'} 
E = [('Baoding','Beijing'), ('Tangshan','Baoding'), ('Tangshan','Beijing'), ('Baoding','Langfang')]
G.add_nodes_from(V) 
G.add_edges_from(E)

与简单无向图类似，唯一的区别在于用于实例化对象的 networkx 类。对于有向图，使用 nx.DiGraph() 类。
计算入度和出度：

print(f"Indegree for nodes: { {v: G.in_degree(v) for v in G.nodes} }") 
print(f"Outdegree for nodes: { {v: G.out_degree(v) for v in G.nodes} }") 

输出结果如下所示：

Indegree for nodes: {'Tangshan': 0, 'Baoding': 1, 'Beijing': 2, 'Langfang': 1}
Outdegree for nodes: {'Tangshan': 2, 'Baoding': 2, 'Beijing': 0, 'Langfang': 0}

对于有向图，同样可以使用 G.add_nodes_from()，G.add_edges_from()，G.remove_nodes_from() 和 G.remove_edges_from() 函数来修改给定图 $G$。

2.2 多重图

多重图 (multigraph) 是图定义的推广，允许同一对节点间存在多条边。多重图 $G$ 定义为 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是节点集，$E$ 是边的多重集(允许每个元素有多个实例)。
如果 $E$ 是有序对的多重集，则该多重图称为有向多重图；否则，如果 $E$ 是无序二元组的多重集，则称为无向多重图。
如下所示是一个典型的有向多重图：

使用 networkx 创建有向和无向多重图：

directed_multi_graph = nx.MultiDiGraph() 
undirected_multi_graph = nx.MultiGraph() 
V = {'Baoding', 'Beijing', 'Langfang', 'Tangshan'} 
E = [('Langfang','Baoding'), ('Langfang','Baoding'), ('Beijing','Langfang'), ('Beijing','Baoding'), ('Langfang','Tangshan'), ('Langfang','Tangshan')] 
directed_multi_graph.add_nodes_from(V) 
undirected_multi_graph.add_nodes_from(V) 
directed_multi_graph.add_edges_from(E) 
undirected_multi_graph.add_edges_from(E) 

有向多重图和无向多重图之间的唯一区别在于实例化对象的 networkx 类不同：nx.MultiDiGraph() 用于创建有向多重图，而 nx.MultiGraph() 用于构建无向多重图。用于添加节点和边的函数对于这两个对象是相同的。

2.3 加权图

接下来我们介绍有向、无向和多重加权图。
边加权图 (edge-weighted graph，或简称为加权图) $G$ 定义为 $G=(V,E,w)$，其中 $V$ 是节点集，$E$ 是边集，$w:E\to \mathbb{R}$ 是加权函数，它为每条边 $e\in E$ 分配一个权重，表示为实数。
节点加权图 (node-weighted graph) $G$ 定义为 $G=(V,E,w)$，其中 $V$ 是节点集，$E$ 是边集，$w:V\to \mathbb{R}$ 是加权函数，它为每个节点 $v\in V$ 分配一个权重，表示为实数。
需要注意的是：

• 如果 $E$ 是有序对的集合，则称为有向加权图 (directed weighted graph)
• 如果 $E$ 是无序二元组的集合，则称为无向加权图 (undirected weighted graph)
• 如果 $E$ 是多重集，则称为加权多重图( weighted multigraph，或无向加权多重图)
• 如果 $E$ 是有序对的多重集，则称为有向加权多重图 (directed weighted multigraph)

如下所示是一个典型的有向加权图：

可以看到，图中加权边的存在有助于为数据结构添加有用的信息。我们可以将边的权重视为从一个节点到另一个节点的“成本”。例如，从 Baoding 到 Beijing 的“成本”是 12，而从 Tangshan 到 Beijing 的“成本”是 4。
使用 networkx 创建有向加权图：

G = nx.DiGraph() 
V = {'Beijing', 'Baoding', 'Langfang', 'Tangshan'} 
E = [('Baoding','Beijing', 12), ('Baoding','Langfang', 9), ('Tangshan','Beijing', 4), ('Tangshan','Baoding', 20)] 
G.add_nodes_from(V) 
G.add_weighted_edges_from(E) 

2.4 二部图

接下来，介绍另一种类型的图：多部图 (multipartite graph)。二部图、三部图以及更一般的 k 部图，是图的节点可以分为两个、三个或 k 个互斥节点集的图。边只允许在不同集合的节点之间连接，而不允许在属于同一集合的节点之间连接。在大多数情况下，属于不同集合的节点也具有特定的类型属性。例如，推荐系统中的用户-商品属于典型的二部图。

(1) 使用 networkx 创建二部图：

import pandas as pd 
import numpy as np 
n_nodes = 10 
n_edges = 12 
bottom_nodes = [ith for ith in range(n_nodes) if ith % 2 ==0] 
top_nodes = [ith for ith in range(n_nodes) if ith % 2 ==1] 
iter_edges = zip( np.random.choice(bottom_nodes, n_edges), np.random.choice(top_nodes, n_edges)) 
edges = pd.DataFrame([{"source": a, "target": b} for a, b in iter_edges]) 
B = nx.Graph() 
B.add_nodes_from(bottom_nodes, bipartite=0) 
B.add_nodes_from(top_nodes, bipartite=1) 
B.add_edges_from([tuple(x) for x in edges.values]) 

(2) 可以使用 networkx 的 bipartite_layout 函数方便地绘制二部图：

from networkx.drawing.layout import bipartite_layout 
pos = bipartite_layout(B, bottom_nodes) 
nx.draw_networkx(B, pos=pos) 

输出结果如下所示：

3. 图的表示

如前所述，使用 networkx 时我们可以直接通过节点和边对象来定义和操作图结构。但在应用场景中，这种表示方式可能不够高效。在本节中，我们将介绍两种图数据结构的紧凑表示方法：邻接矩阵和边列表。

3.1 邻接矩阵

对于图 $G=(V,E)$，其邻接矩阵 (adjacency matrix) $M$ 是一个 $|V|\times |V|$ 的方阵，其中当存在从节点 $i$ 指向节点 $j$ 的边时，元素 $M_{ij}$ 为 1；当不存在对应边时，元素 $M_{ij}$ 为 0。以下展示了不同类型图结构对应的邻接矩阵示例：

可以看到，无向图的邻接矩阵是对称矩阵，因为边没有定义方向。相反，由于边的方向存在约束，有向图的邻接矩阵通常并不对称。对于多重图，矩阵中的值可以大于 1，因为多个边可以用来连接相同的一对节点。对于加权图，矩阵中元素的值等于对应边的权重值。
在 networkx 中，给定图的邻接矩阵可以通过以下方式计算：

nx.to_pandas_adjacency(G)

输出结果如下所示：

			Baoding	Beijing	Langfang	Tangshan
Baoding		0.0		12.0	9.0			0.0
Beijing		0.0		0.0		0.0			0.0
Langfang	0.0		0.0		0.0			0.0
Tangshan	20.0	4.0		0.0			0.0

3.2 边列表

与邻接矩阵一样，边列表是另一种表示图的紧凑方式，其核心思想是将图表示为边的列表。
图 $G=(V,E)$ 的边列表 $L$ 是一个大小为 $|E|$ 的矩阵，其元素 $L_i$ 是一个表示边 $i$ 的起始节点和终止节点的元组。以下展示了不同类型图的边列表示例：

使用 networkx 中计算简单无向图 $G$ 的边列表：

print(nx.to_pandas_edgelist(G)) 

输出结果如下所示：

     source    target  weight
0   Baoding   Beijing      12
1   Baoding  Langfang       9
2  Tangshan   Beijing       4
3  Tangshan   Baoding      20

除上述表示方法外，networkx 还支持其他图结构表示方式，如 nx.to_dict_of_dicts(G) 和 nx.to_numpy_array(G) 等。

小结

本文介绍了图数据结构及其在 Python 中的实现方法，主要围绕 networkx 库展开。首先阐述了图论的基本概念，包括图的定义(节点集合 $V$ 和边集合 $E$ 构成的二元组 $G=(V,E)$ )及其基础属性(阶、度、邻居、邻域图等)，并通过城市连接示例演示了 networkx 的代码实现(如 nx.Graph() 的创建、节点/边的增删操作)。
其次，详细探讨了图的多种变体：

• 有向图 (nx.DiGraph) 通过有序边区分方向，引入入度/出度概念
• 多重图 (nx.MultiGraph/nx.MultiDiGraph) 支持节点间多边连接
• 加权图通过 add_weighted_edges_from 为边赋予权重，扩展了成本建模能力
• 二部图以互斥节点集和跨集合边为特征，适用于推荐系统等场景

最后，对比了图的两种高效表示方法：

• 邻接矩阵 (to_pandas_adjacency) 以矩阵形式反映节点连接关系
• 边列表 (to_pandas_edgelist) 直接存储边信息，适合稀疏图