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浮点数的乘法与除法运算耗时对比

一.浮点数运算概述

1.浮点数采用IEEE 754标准表示实数,由三部分组成:

[符号位 S][指数位 E][尾数位 M]

例如双精度浮点数(double):

总位数:64位

符号位:1位

指数位:11位(范围 -1022 ~ 1023)

尾数位:52位(有效精度约15位小数)

2.浮点运算(Floating-Point Operation)指对浮点数进行的算术计算。

二.除法 vs 乘法耗时对比

1.在处理器中,double类型除法比乘法显著更慢:

2.性能差异根源

硬件实现差异:

乘法器:采用并行树形结构(如Wallace树)

除法器:依赖迭代算法(牛顿-拉夫森法或SRT算法)

计算复杂度:

乘法:$O(n^2)$(n为位数)

除法:$O(n^2 \log n)$ 或更高

流水线限制:

除法无法充分流水化,导致吞吐量下降

3.实测数据

// 42亿次乘法:≈1.9秒

for(int i=0; i<0xffffffff; i++) result = (double)i * 1556.368;  

// 42亿次除法:≈3.7秒 (慢2倍)

for(int i=0; i<0xffffffff; i++) result = (double)i / 1556.368;

三.除法转乘法的优化技术

1. 倒数乘法(最常用)

// 原始除法

double y = x / c;

// 优化为乘法

double inv_c = 1.0 / c;  // 预先计算倒数

double y = x * inv_c;    // 循环中仅需乘法

适用场景:

分母c在循环中恒定不变

可容忍轻微精度损失(约1 ULP误差)

2.牛顿迭代法求倒数

当需要更高精度时:

// 牛顿迭代求倒数 (双精度)

double rcp_newton(double b) {

    double y = 1.0 / b;           // 初始近似值

    y = y * (2.0 - b * y);        // 第1次迭代

    y = y * (2.0 - b * y);        // 第2次迭代 (精度达~50位)

    return y;

}

// 使用

double inv_b = rcp_newton(b);

double result = a * inv_b;

迭代次数与精度关系:

3.FMA(乘加)加速示例

double rcp_fma(double b) {

    double y = 1.0 / b;

    y = fma(y, fma(-b, y, 2.0), 0.0);

    return y;

}

4.总结

http://www.dtcms.com/a/278123.html

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