第10讲——一元函数积分学的几何应用

今日开篇：应该有更好的方式开始新的一天，而不是千篇一律地在每个上午醒来。

定积分计算平面图形的面积

直角坐标系下

用矩形的面积，近似代替曲边梯形的面积。

参数方程下

很少见，目前没有见到过，但是一般都采用换元法。

极坐标系下

用三角形面积近似代替扇形的面积，然后求扇形面积之差就是曲边扇形的面积。

• 求曲线$y=e^{-x}sinx$(x≥0)与x轴所围平面图形的面积。
  
  
  

定积分计算旋转体的体积

曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积

微元法，将其看作是小圆柱体的“积分”。

曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积

柱壳法，将其看成是圆柱壳的“积分”。
将圆柱壳沿着任何一条竖线剪开，可展开为一个“长方体”，其体积为$d{V}_y=2\pi x|y(x)|dx$
所以旋转体的体积为：$$V_y=2\pi {\int }_a^{b}x|y(x)|dx$$

平面曲线绕定直线旋转

设平面曲线$L:y=f(x),a\le x\le b$，且f(x)可导。
定直线$L_0:Ax+By+C=0，且过L_0$的任一条垂线与L至多有一个交点，如下图所示，则L绕$L_0$旋转一周所得旋转体的体积为：

遇到问题了怎么办？一言以蔽之，就是套这个公式。

定积分计算函数的平均值

一共有两种方法，第一种方法是正常思路，但需利用题目中给出的等式条件；第二种方法比较难想到，利用等式构造变限积分。

第二种可能需要受到周期函数的启发。

定积分计算平面光滑曲线的弧长

一共可以分为以下三种情况：

• 直角坐标系下
  也可以对y积分，相当于换元：${\int }_c^d\sqrt{1+(\frac{dx}{dy}{)}^2}dy$，这里的积分区间是[a,b]对应的区间。
• 参数方程后
• 极坐标方程
  本质上还是微元法和换元。
  
  

曲线L绕x轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积

和上面的弧长一样，也是分为平面直角坐标系、参数方程、极坐标系。
还是微元法dA=2π|y|ds，这里的ds是指对应一段曲线的弧长。

• 直角坐标系
• 参数方程
• 极坐标系
  

形心坐标公式（几乎没考过）