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用 MATLAB 模拟传染病传播：从 SI 模型到 SIS 模型的可视化之旅

news 2025/7/13 11:08:53

在公共卫生研究中，数学模型是理解传染病传播规律的重要工具。通过数值模拟，我们能直观看到 “易感人群” 和 “感染人群” 随时间的变化趋势，甚至能预测疫情发展的关键节点。今天就带大家用 MATLAB 实现两个经典的传染病模型 ——SI 模型和SIS 模型，一步步拆解代码逻辑，还会教你如何替换自己的数据，让模型更贴合你的研究场景哦～ 🌟

一、为什么要做传染病模型模拟？ 🤔

想象一下：当一种新的传染病出现时，卫生部门需要快速判断 “多久会出现感染高峰？”“最终会有多少人被感染？” 这些问题光靠经验很难回答，但数学模型能帮我们 “预演” 不同场景下的传播过程。

今天要实现的两个模型，虽然简单却蕴含着传播的核心逻辑：

SI 模型：假设感染后不会康复，只会在易感人群中持续扩散（比如某些终身携带的病毒）；

SIS 模型：感染后会康复，且康复者会重新成为易感人群（比如流感这类可重复感染的疾病）。

通过可视化这两个模型的结果，我们能清晰看到 “康复” 这个变量对传播趋势的巨大影响～

二、模型原理：从公式到逻辑 📝

在写代码前，先让我们看懂两个模型的数学表达式 —— 这是理解模拟逻辑的关键哦！

1. SI 模型：“一旦感染，终身携带”

SI 模型里有两个核心人群：

S(t)：t 时刻的易感人群（可能被感染的人）；

I(t)：t 时刻的感染人群（已感染且具有传染性的人）。

总人数 N = S (t) + I (t)（因为没有康复，所以总人数不变）。

模型的微分方程如下：

\( \begin{cases} \dfrac{dS}{dt} = -\beta \dfrac{S \times I}{N} \\ \dfrac{dI}{dt} = \beta \dfrac{S \times I}{N} \end{cases} \)

公式解读：

\( \beta \) 是传染率（比如 β=0.2 表示每个感染者每天平均会让 20% 的易感者被感染）；

\( \frac{S \times I}{N} \) 代表 “易感者与感染者的接触概率”（总人数 N 固定时，接触次数和两者数量的乘积成正比）；

因此，易感人群的减少量 \( \frac{dS}{dt} \) 等于感染人群的增加量 \( \frac{dI}{dt} \)，符合 “无康复” 的设定～

2. SIS 模型：“康复后仍可能再感染”

SIS 模型在 SI 模型的基础上增加了 “康复” 环节：感染人群会以一定概率康复，且康复后重新成为易感者（所以叫 SIS，Susceptible-Infected-Susceptible）。

新增参数 \( \gamma \) 代表康复率（比如 γ=0.25 表示每天有 25% 的感染者会康复）。

模型的微分方程如下：

\( \begin{cases} \dfrac{dS}{dt} = -\beta \dfrac{SI}{N} + \gamma I \\ \dfrac{dI}{dt} = \beta \dfrac{SI}{N} - \gamma I \end{cases} \)

公式解读：

感染人群的变化（dI/dt）由两部分组成：新增感染（\( \beta SI/N \)）和康复减少（\( -\gamma I \)）；

易感人群的变化（dS/dt）也对应两部分：因感染减少（\( -\beta SI/N \)）和因康复增加（\( +\gamma I \)）；

这个模型更贴近现实中 “可重复感染” 的疾病（比如普通感冒、流感），感染高峰会因康复而回落～

三、MATLAB 代码实现：从公式到可视化 💻

接下来我们用 MATLAB 的ode45函数（常微分方程求解器）来模拟这两个模型。ode45能帮我们求解微分方程组的数值解，再结合plot函数就能画出人群变化曲线啦～

1. SI 模型代码解析

先看第一段代码 —— 没有康复率的 SI 模型：


% 模型参数N = 1000000; % 总人数I0 = 10; % 初始感染人数S0 = N - I0; % 初始易感人数beta = 0.2; % 传染率num_days = 160; % 模拟天数% x(1):感染人群I， x(2):易感人群Sdxdt = @(t, x) [beta * x(1) * x(2) / N; % dIdt-beta * x(1) * x(2) / N % dSdt];[t, y] = ode45(dxdt, 1: num_days, [I0, S0]);hold onplot(t, y(:, 1));plot(t, y(:, 2));legend('感染人数I', '易感人数S');

关键参数说明（这些都能自定义哦！）：

N：总人数（比如模拟一个城市的人口，可替换为 500000、10000 等）；

I0：初始感染人数（疫情刚开始时的病例数，可替换为 5、20 等）；

S0：初始易感人数（总人数减去初始感染人数，会随N和I0自动变化，也可手动修改）；

beta：传染率（值越大传播越快，可替换为 0.1、0.3 等）；

num_days：模拟天数（想观察 1 年就设为 365，想观察 1 个月就设为 30）。

微分方程定义：

dxdt是一个匿名函数，用来定义微分方程组：

第一行beta * x(1) * x(2) / N对应dI/dt（感染人数的变化率），和 SI 模型公式完全一致；

第二行-beta * x(1) * x(2) / N对应dS/dt（易感人数的变化率），负号表示易感者因感染而减少。

求解与绘图：

[t, y] = ode45(dxdt, 1: num_days, [I0, S0])：ode45会在 1 到num_days天内求解方程组，初始值是[I0, S0]（初始感染和易感人数）；

y(:, 1)是每天的感染人数（I），y(:, 2)是每天的易感人数（S）；

plot函数画出两条曲线，legend添加标签，方便区分～

2. SIS 模型代码解析

再看第二段代码 —— 加入康复率的 SIS 模型：


% 模型参数N = 1000000; % 总人数I0 = 10; % 初始感染人数S0 = N - I0; % 初始易感人数beta = 0.2; % 传染率gamma = 0.05; % 康复率num_days = 160; % 模拟天数% x(1):感染人群I， x(2):易感人群Sdxdt = @(t, x) [beta * x(1) * x(2) / N - gamma * x(1); %dIdt-beta * x(1) * x(2) / N + gamma * x(1) %dSdt];[t, y] = ode45(dxdt, 1: num_days, [I0, S0]);hold onplot(t, y(:, 1));plot(t, y(:, 2));legend('感染人数I', '易感人数S');

新增参数（可自定义！）：

gamma：康复率（值越大表示康复越快，可替换为 0.1、0.5 等）。比如 gamma=0.5 意味着每天有 50% 的感染者会康复～

微分方程变化：

和 SI 模型相比，dxdt的定义多了gamma相关项：

感染人数变化（dI/dt）：beta * x(1)*x(2)/N - gamma * x(1)（新增感染减去康复减少，对应 SIS 模型公式）；

易感人数变化（dS/dt）：-beta * x(1)*x(2)/N + gamma * x(1)（感染减少加上康复增加，和公式一致）。

四、模拟结果分析：曲线背后的传播规律 🔍

运行两段代码后，我们会得到两条截然不同的曲线 —— 这就是模型参数对传播趋势的影响，超直观！

1. SI 模型的曲线特征

在 SI 模型中（无康复）：

感染人数（I）会从初始的 10 人开始，随着时间快速增长（因为没有康复，每个感染者都在持续传染易感者）；

易感人数（S）会不断减少，直到几乎所有易感者都被感染（因为总人数固定，I+S=N）；

曲线趋势：I 呈 “J 型增长”，S 呈 “反向 J 型下降”，最终 I≈N，S≈0（除非初始易感者耗尽）。

这很像 “一旦感染终身携带” 的疾病（比如某些病毒携带者），只要有易感者存在，感染就会持续扩散～ 😮

2. SIS 模型的曲线特征

在 SIS 模型中（有康复）：

感染人数（I）会先快速上升（新增感染 > 康复），达到一个 “感染高峰”；

随着易感人数减少、康复人数增加，感染人数会逐渐下降，最终可能稳定在一个平衡值（I 不再变化）；

易感人数（S）会先减少后回升，最终和 I 形成动态平衡（因为康复者会回到易感人群）。

这更贴近现实中 “可康复且重复感染” 的场景：比如流感，冬天感染人数上升，春天因康复和抵抗力增强而下降，但来年可能再次流行～ 🌦️

3. 关键差异对比

模型	感染人数趋势	易感人数趋势	核心原因
SI 模型	持续增长至 N	持续下降至 0	无康复，感染不可逆
SIS 模型	先增后减至平衡值	先减后增至平衡值	康复者回归易感人群

五、自定义数据指南：让模型更贴近你的研究 🧪

想模拟自己关注的场景？只需修改几个参数就行！以下是 “可替换数据” 的详细指南，新手也能轻松上手～

1. 必改参数清单

参数名	含义	推荐修改范围	修改后影响示例
N	总人数	1000～10^7（根据场景）	N=10000（模拟一个小镇），传播速度会更快
I0	初始感染人数	1～100	I0=1（零号病人），初期增长会更慢
beta	传染率	0.01～1（越小越慢）	beta=0.1（低传染），感染高峰会推迟
gamma	康复率（仅 SIS 模型）	0.05～1（越大康复越快）	gamma=0.5（高康复），感染高峰会降低
num_days	模拟天数	30～365	num_days=365（模拟一年），看长期趋势