详细理解向量叉积

叉积（Cross Product），又称向量积或外积，是三维空间中两个向量的一种二元运算，结果是一个新的向量。它与点积（内积）不同，叉积的结果是向量而不是标量。

定义

给定两个三维向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉积 a × b 定义为：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$
也可以用行列式形式表示：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$$
其中 i, j, k 分别是 x、y、z 轴的单位向量。

几何意义

1. 方向：叉积的结果向量 a × b 垂直于 a 和 b 所在的平面，方向遵循右手定则（右手四指从 a 转向 b，拇指指向 a × b 的方向）。

2. 大小：叉积的模长等于 a 和 b 的模长与它们夹角 θ 的正弦的乘积：
   $$\Vert \mathbf{a}\times \mathbf{b}\Vert =\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert \sin \theta$$
   若a、b均归一化，当a、b平行时结果为0，当a、b垂直时结果为1，叉积的模长代表了两个向量的误差。

   • 几何上表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积。

性质

1. 反交换律：a × b = −(b × a)。
2. 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c。
3. 与标量乘法结合：(ka) × b = a × (kb) = k(a × b)。
4. 平行向量叉积为零：若 a 和 b 平行（θ = 0° 或 180°），则 a × b = 0。