组合数学学习笔记

计数原理

计数技巧

等效替代（映射）：

构造一个映射，将每一种原问题的方案映射为新问题的一种方案，并使答案更容易计算。
例如捆绑法，插空法，隔板法等。

捆绑法： 也成整体法，即若要求若干物品相邻，可以将他们视作一个整体来计数。

插空法： 如果要求若干物品两两不相邻，可以先将其他物品放好，然后将这些物品插入空挡当中进行计数。

隔板法： 将不可区分物品分配问题、不定方程整数解问题转化为插板组合问题。

经典例题： 把 $n$ 个相同的苹果分给 $k$ 个人，要求每人至少分到一个的方案数。（求解不定方程 $x_1+x_2+...+x_k=n$（$\forall i\in [1,k],1\le x_i\le n$） 的解的个数）。
解决方案： 有 $n-1$ 个空隙，在这些空隙中插入 $k-1$ 个板将苹果分为 $k$ 部分，方案数为 $C_{n-1}^{k-1}$。

拓展问题 1： 求解不定方程 $x_1+x_2+...+x_k=n$（$\forall i\in [1,k],0\le x_i\le n$） 的解的个数。
解决方案： 将每个 $x$ 提前加一个 $1$，问题变成了 “求解不定方程 $x_1+x_2+...+x_k=n+k$（$\forall i\in [1,k],1\le x_i\le n+k$） 的解的个数。”。

拓展问题 2： 求解不定方程 $x_1+x_2+...+x_k\le n$（$\forall i\in [1,k],1\le x_i\le n$） 的解的个数。
解决方案： 添加一个新的板子放在最后面。问题变成了将 $n$ 分成 $k+1$ 部分，前 $k$ 份元素个数大于等于 $1$ 的方案数。

容斥原理

摩根定理

交集的补等于补集的并，并集的补等于补集的交。

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}，\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$。

---

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$

另一种形式：

∣ ⋃ i = 1 n A i ∣ = ∑ S u b s e t   ⊆   { 1 , 2 , … n }   ≠   ∅ ( − 1 ) ∣ S u b s e t ∣ + 1 × ∣ ⋂ j   ⊆   S u b s e t A j ∣ \left | \bigcup_{i=1}^nA_i \right | = \sum_{Subset \ \subseteq \ \{1, 2, \dots n\} \ \not= \ \emptyset}(-1)^{\left |Subset \right| + 1} \times \left | \bigcap_{j \ \subseteq \ Subset} A_j\right | ​i=1⋃n​Ai​ ​=Subset ⊆ {1,2,…n} = ∅∑​(−1)∣Subset∣+1× ​j ⊆ Subset⋂​Aj​ ​

排列组合

排列数

将 $n$ 个不同的物品排成一行，有多少种不同的顺序？

$$1\times 2\times 3\times \cdots \times n=n!$$

从 $n$ 个物品中选出 $k$ 个排成一行，考虑每个数的顺序，有多少种不同的选法，写作 $A_n^k$。

排列数计算公式：

$$(n-k+1)\times (n-k+2)\times (n-k+3)\times \cdots \times n=\frac{n!}{(n-k)!}$$

组合数

从