第14次课 认识图 A

课堂回顾

树的概念

概念A

树是一种非线性的数据结构，能很好地描述有分支和层次特性的数据集合。

一棵树是由n(n≥0)个元素组成的有限集合。

1)每个元素都可以称为结点(node):

2)任意一棵非空树中(>0)，有一个特定的结点，称为根结点或树根(root);

3)在一棵非空树中，结点a是树的一个结点，由a以及的所有后代组成的结构，称为树的子树。

4)在一棵非空树中，从某个结点向下，分出若干结点a1,

a2,...分出的结点α以及它的所有后代，称为结点的子树。

5)没有子树的结点，称为叶结点。

一个结点的子树个数，称为这个结点的度。

树中各结点度的最大值，称为这棵树的度。

棵树中所有的结点层次的最大值称为树的深度。

概念B

二叉树是一种特殊的树型结构，树中结点的度都不大于2，它是一种最简单且最重要的树。

在二叉树的第层上最多有2的i-1次方个结点(i≥1)。
深度为k的二叉树最多有2的k次方-1个结点(k≥1)。

满二叉树：

一棵深度为k且有2的k次方-1个结点的二叉树称为满二叉树。

完全二叉树：

二叉树中除去最后一层结点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布。
需要注意的是，满二叉树也是完全二叉树。

二叉树的遍历

二叉树是由三个基本单元组成：根结点、左子树和右子树。

二叉树的三种遍历：

先序：访问根结点一>遍历左子树一>遍历右子树（简称：根左右）

中序：遍历左子树一>访问根结点一>遍历右子树（简称：左根右）

后序：遍历左子树一>遍历右子树一>访问根结点（简称：左右根）

先序遍历

访问根结点一>遍历左子树一>遍历右子树（简称：根左右）

先序序列的第一个点是根结点。

在子树的先序序列中，第一个点是该子树的根。

中序遍历

遍历左子树一>访问根结点一>遍历右子树（简称：左根右）

第1步：有左子树一直找左子树。

第2步：当没有左子树或左子树已经遍历完，访问根结点。

第3步：找右子树，重复上述步骤。

中序序列可以通过根结点划分左右子树。

后序遍历

遍历左子树一>遍历右子树一>访问根结点（简称：左右根）

第1步：有左子树一直找左子树。

第2步：没有左子树，找右子树，重复上述步骤。

第3步：当没有右子树或左右子树已经遍历完，访问根结点。

后序序列的最后一个点是根结点。

在子树的后序序列中，最后一个点是该子树的根。

序列构造二叉树

中序遍历序列和先序遍历序列可以构造一棵二叉树。

1.根据先序遍历序列确定根结点

2.根据中序遍历序列确定左右子树结点

3.循环上述步骤，直到确定所有结点

中序遍历序列和后序遍历序列可以构造一棵二叉树。

1.根据后序遍历序列确定根结点

2.根据中序遍历序列确定左右子树结点

3.循环上述步骤，直到确定所有结点

中序遍历序列和层序遍历序列可以构造一棵二叉树。

1.根据层序遍历序列确定根结点

2.根据中序遍历序列确定左右子树结点

3.循环上述步骤，直到确定所有结点

课堂学习

图的概念

六位朋友用圈和数字的图案表示。

圈1的好友：圈2；圈4；圈5。
圈2的好友：圈3；圈5；圈6。
圈6的好友：圈3；圈4。

两人之间建立好友，用线段连接。

上述所列举的好友关系组成一张关系网。这种网状结构，就是数据结构的图。

数据结构中图的概念：

图是由有限个结点，和结点之间的边组成。

结点数目为有限非0，也就是不能没有结点；边数目为有限。

图的分类

图按照边分为无向图和有向图。(离散数学)

1.无向图讲解：

无向图：图中任意一条边都没有方向。
无向图表示为：G=(V,E)
结点集合V={1,2,3,4}
边集合E={(1,2),(2,3),(1,3),(1,4),(3,4)}

无向边用小括号把两端结点括起来。

说明：由于边没有方向，因此(3,4)和(4,3)是同一条边，意味着两个结点相互可达。

2.有向图讲解：

有向图：图中任意一条边都有方向。
有向图表示为：G=(V,E)
结点集合V={1,2,3,4}
边集合E={<1,2>,<2,3>,<1,3>,<4,1>,<3,4>}

有向图的边叫做弧。起始端叫弧尾，终端叫弧头。
有向边用尖括号把两端结点括起来：<弧尾，弧头>。

说明：由于有方向，因此<3,4>和<4,3>是两条边。

简单图

图结构中，同一条边不重复出现，且不存在结点到自身的边，则称图为简单图。
观察下面两个图结构：

平时接触的更多是简单图；没有特殊说明，默认图是简单图。

练一练

下列4个图结构中，属于简单图的是(AD)

已知图的表示方式为：G=(V,E)，V表示结点集合，E表示边的集合，对下面的有向图G，表示正确的一项是（）。

A.G=(V,E);V={1,2,3,4,5};E={<1,4>,<4,5>,<5,1>,<5,2>,<2,3>,<3,5>}
B.G=(V,E);V={1,2,3,4,5};E={<4,1>,<5,4>,<1,5>,<2,5>,<3,2>,<5,3>}
C. G=(V,E); V={1,2,3,4,5); E={(1,4),(4,5),(5,1),(5,2),(2,3),(3,5)}
D. G=(V,E); V={1,2,3,4,5); E={(4,1),(5,4),(1,5),(2,5),(3,2),(5,3)}

完全图

思考题:

简单图前提下，图中有n个结点，什么样的图拥有最多的边呢？

图有3个结点：

图有4个结点：

结论:

完全图：图中任意两个结点间都存在边相连。

完全图分为：

1.有向完全图

有向图中任意两个结点都存在方向互为相反的两条边。

4个结点，有12条边。                                                                                                                

每个结点都有指向其他3个结点的边。
图有4个结点，共有4*3=12条边。

思考一下:
假设n个结点，有多少条边？
每个结点都有指向其他n-1个结点的边。
3n个结点，共有n*(n-1)条边。

2.无向完全图

无向图中任意两个结点都存在边。

4个结点，有6条边。

假设n个结点，有多少条边？

有向完全图任意两个结点存在2条边：n个结点，共有n*(n-1)条边。

无向完全图任意两个结点比有向都少1条。n个结点，共有n*(n-1)/2条边。

练一练

无向完全图是图中每对结点之间都恰好有一条边的简单图。已知无向完全图G有
7个结点，则它共有（B）条边。
A.7
B.21
C.42
D.49

【解析】n个结点的无向完全图，边数=n*(n-1)/2。n=7，边数=7*(7-1)/2=21。

1个简单无向图有10个结点，图中当前存在40条边，请问增加(   )条边可以成为完全图。
A. 2
B.3
C.4
D.5
【解析】n个结点的无向完全图，边数=n*(n-1)/2。n=10，边数=10*(10-1)/2=45，当前存在40条边，需增加5条边。

结点的度

结点v的度：结点v相连边的数目

以微信为例：6
用户2相连的好友有4位，有4条边。
结点2的度为4。

以抖音为例：
用户2存在关系的有5位，有5条边。
结点2的度为5。

入度与出度

有向图中，结点的边有进有出，度可以分为：入度，出度。

以抖音为例：

用户2粉丝有3个，结点2入度等于3。
用户2关注用户1,3，结点2出度等于2。

结点v入度：有向图中以结点v作为终点边的数目。
结点v出度：有向图中以结点v作为起点边的数目。
有向图中，结点的度=入度+出度。

练一练

设简单无向图G有16条边且每个结点的度数都是2，则图G有（D）个结点。
A.10
B.12
C.8
D.16
【解析】图中每增加1条边，度数之和增加2，因此m条边的图，度数之和=2*m。16条边的图，度数之和是32；每个结点的度数都是2，结点数=32/2=16

有向图中每个结点的度等于该结点的（c）。
A.入度
B.出度
C.入度和出度之和
D.入度和出度之差
【解析】有向图中，结点的度等于该结点入度和出度之和。

图的概念总结

图是一种数据结构。
1.概念：

图是由有限个结点和结点之间的边组成。通常表示为G=(V,E)。
2.两种图：

(1)  无向图：图中任意一条边都没有方向。
(2）有向图：图中任意一条边都有方向。
3.简单图：若同一条边不重复出现，且不存在结点到自身的边，则称图为简单图。
4.完全图：

（1）有向完全图：有向图任意两个结点都存在方向互为相反的两条边。
（2）无向完全图：无向图任意两个结点都存在边。
      n个结点:有向图边数=n*(n-1)
无向图边数=n*(n-1)/2
5.结点v的度：结点v相连边的数目。
(1) 结点v入度：有向图中以结点v作为终点边的数目。
(2) 结点v出度：有向图中以结点v作为起点边的数目。
有向图中，结点的度=入度+出度。

权和网

在一些实际场景中，图中的每条边（或弧）会赋予一个数字来表示一定的含义。
以城市的分布图为例：
北京~上海：1073km
上海~深圳：1212km
深圳~拉萨：2429km
拉萨~北京：2555km        

图中边上的数字叫做“权值”

带权的图通常称为“网”

说明：有向图或无向图都可以。

生活中有带权图的案例
1.快递员在不同地点间送快递。权值：距离，时间
2.货车在地点之间的道路上行驶。权值：距离，时间，汽油消耗
注意：权值可以表示从一个结点到另一个结点的距离，时间或其他一些代价。

路径和回路

如果能从一个结点到另一个结点，途中经过的所有结点称为一条路径。
结点2~结点3的路径：2,4,5,3
如果一条路径的起点与终点相同，则称此路径为"回路"
结点2的回路：2,4,1,2

说明：有向图或无向图都可以。

练一练

在下面的有向图中，从结点3到结点4，共有（D）条路径。
注意：一条路径中，一个结点只能经过一次。

A. 1        B.2        C.3        D. 4

【解析】从结点3到结点4共存在4条路径。分别为：
3->7->4
3->7->1->4
3->6->7->4
3->6->7->1->4

子图

初步理解图的一部分就是子图。
以无向图G1和G2为例：

图G1属于图G2的一部分，图G1是G2的子图。
图G1所有的结点和边都属于图G2，则称图G1为图G2的子图。
G1=(V1,E1)）G2=(V2,E2）如果V1是V2子集，且E1是E2子集。则G1是G2的子图。

子图按照是否有边分为两种：

第一种无边，子图是独立结点：

第二种有边，2边将结点连G2接起来：

给定的有向图中，子图的个数有（B）个。
说明：如果子图中结点的数量超过1，所有结点需要通过边串联在一起，不可以独立。

【解析】以子图的结点数划分情况：分为1个结点，2个结点，3个结点三种。
1个结点时，子图有3个；
2个结点时，子图有3个；
3个结点时，结合2条边，子图有3个；结合3条边，子图有1个(原图)。
合计10个子图。

连通和强连通

在无向图中，如果两个结点间存在路径，则称两个结点连通。
答案：存在路径。(1,2) (2,5)

结点1与结点5是连通的。

在无向图中，任意两个结点都连通，则称该图为连通图。

练一练

在一个无向图中，如果任意两点之间都存在路径相连，则称其为连通图。下图是一个有4个结点、6条边的连通图。若要使它不再是连通图，至少要删去其中的（C）条边。

【解析】在无向的情况下，只要所有结点属于一个图，该图就是连通图，因此，需
选择一个结点，删除它的所有边即可。
给定图中每个结点都有3条边，所以至少删除3个边。

有10个结点的无向图至少应该有（A）条边才能确保是一个连通图。
A. 9
B.10
C. 11
D.12
【解析】在无向图中，只要所有结点连在一起，该图即为连通图。假设：
图中有2个结点，至少需要1条边；图中有3个结点，至少需要2条边；以此类推...
图中有n个结点，至少需要n-1条边。因此，对于10个结点的无向图，至少需要9条边。

强连通与强连通图

强连通图

强连通，强连通图可以与连通概念对比理解。
连通描述的对象是无向图。
强连通，强连通图描述的对象是有向图。
右侧的有向图中：

结点1至结点4存在路径吗？<1,3><3,4>
结点4至结点1存在路径吗？<4,2><2,1>

结点1与结点4是强连通的。

有向图中的两个结点相互可以到达，则称两个结点强连通。
有向图中任意两个结点间        都强连通，则称有向图是强连通图。

练一练

在下列四个图结构中，属于强连通图的是（C）。

【解析】强连通图概念：在有向图中，任意两点都可以相互到达。
要求1：有向图；要求2：任意两点相互到达。
只有选项C符合要求。

对一个有向图而言，如果每个结点都存在到达其他任何结点的路径，那么就称它是强连通的。例如，下图就是一个强连通图。事实上，在删掉边（A）后，它依然是强连通的。

【解析】逐项验证：删除选项中的边，检查删除后的有向图是否还是强连通图。A选项正确。

强连通分量

强连通分量：有向图中，最大的强连通子图。

强连通子图：子图的任意两点相互可以到达。
以下图为例，介绍“最大”的含义：

同理，结点3不可以扩展更大的强连通子图，结点3也是强连通分量。

练一练

 图的概念总结

1.权和网：
（1）图中边上的数字叫做“权值”
（2）带权的图通常称为“网”。
注意：权值可以表示从一个结点到另一个结点的距离，时间或其他一些代价。
2.路径和回路：

(1)   从一个结点到另一个结点，途中经过的所有结点称为一条路径。
(2）一条路径的起点与终点相同，则称此路径为“回路”。
3.子图：图G1所有的结点和边都属于图G2，则称图G1为图G2的子图。
G1=(V1,E1）G2=(V2,E2）如果V1是V2子集，且E1是E2子集。则G1是G2的子图。

4.连通与连通图：
(1)  无向图中，两个结点间存在路径，则称两个结点连通。
(2）无向图中，任意两个结点都连通，则称该图为连通图。
5.强连通与强连通图：
（1）有向图中，两个结点相互可以到达，则称两个结点强连通。
（2）有向图中，任意两个结点间都强连通，则称有向图是强连通图。
6.强连通分量：有向图中，最大的强连通子图。

图的存储

1.邻接矩阵：存储图的二维数组。矩阵行列规模要大于最大结点编号
（1）图：用1表示两个结点有边；用0表示两个结点没边。
（2）网：用权值表示两个结点有边；用极大值表示两个结点没边。极大值要大于最大的权值
相同点：有向边赋1次；无向边赋2次。

2.代码实现步骤：
存储图：
(1)输入结点数n，边数m。
(2)创建邻接矩阵同时初始化为0。
(3)循环m次：先输入边；再赋值1。

存储网：

(1)输入结点数n，边数m。

(2)先创建邻接矩阵；再全部赋极大值。

(3)循环m次：先输入边；再赋权值。

相同点：有向边赋1次；无向边赋2次。

课堂训练

4469 图的邻接矩阵

描述

输入一个无向图，存进邻接矩阵并输出。

输入描述

第一行两个整数 n 和 m，表示图有 n 个结点，m 条边。(结点编号 1∼n)
接下来有 m 行，每行有两个整数 x 和 y，表示一条边的两端结点。

输出描述

输出邻接矩阵。

样例输入 1

4 5
1 2
1 3
2 4
1 4
4 3

样例输出 1

0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0

提示

数据范围与提示

n≤20

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n,m;cin>>n>>m;//创建邻接矩阵int g[21][21]={};int x,y;//循环m次：先输入边的两端结点x和y，再赋值2次1for(int i=1;i<=m;i++){cin>>x>>y;g[x][y]=1;g[y][x]=1;}//输出邻接矩阵for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)cout<<g[i][j]<<" ";cout<<endl;}return 0;
}

4470 网的邻接矩阵1

描述

输入一个有向的网，存进邻接矩阵并输出。

输入描述

第一行两个整数 n 和 m，表示有 n 个结点，m 条边。(结点编号 1∼n)
接下来有 m 行，每行有三个整数 x，y 和 w。表示一条结点 x 到 y 的边，权值为 w。

输出描述

输出邻接矩阵。

样例输入 1

4 5
2 1 2
3 1 3
3 2 10
1 4 8
4 3 5

样例输出 1

999 999 999 8
2 999 999 999
3 10 999 999
999 999 5 999

提示

数据范围与提示

n≤20，0≤w≤10
提示：如果两个结点间没边，极大值取 999。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n,m;cin>>n>>m;//创建邻接矩阵int g[21][21]={};//矩阵全部赋极大值999for(int i=0;i<=20;i++)for(int j=0;j<=20;j++)g[i][j]=999;int x,y,w;//循环m次：先输入一条边，再赋权值for(int i=1;i<=m;i++){cin>>x>>y>>w;g[x][y]=w;}//输出矩阵for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)cout<<g[i][j]<<" ";cout<<endl;}return 0;
}

4471 网的邻接矩阵2

描述

输入一个无向的网，存进邻接矩阵并输出。

输入描述

第一行两个整数 n 和 m，表示有 n 个结点，m 条边。(结点编号 1∼n)
接下来有 m 行，每行有三个整数 x，y 和 w。表示一条结点 x 到 y 的边，权值为 w。

输出描述

输出邻接矩阵。

样例输入 1

4 5
2 1 2
3 1 3
3 2 10
1 4 8
4 3 5

样例输出 1

999 2 3 8
2 999 10 999
3 10 999 5
8 999 5 999

提示

数据范围与提示

n≤20，0≤w≤10
如果两个结点间没边，极大值取 999。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n,m;cin>>n>>m;//创建邻接矩阵int g[21][21]={};//矩阵全部赋极大值999for(int i=0;i<=20;i++)for(int j=0;j<=20;j++)g[i][j]=999;int x,y,w;//循环m次：先输入一条边，再赋权值for(int i=1;i<=m;i++){cin>>x>>y>>w;g[x][y]=w;g[y][x]=w;}//输出矩阵for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)cout<<g[i][j]<<" ";cout<<endl;}return 0;
}

课后作业

3158 无向图结点m的度

描述

给定无向图n*n的邻接矩阵，编程计算指定结点的度。

输入描述

第一行两个整数n和m，分别表示结点总数n，指定结点m。（4<=n<=10，1<=m<=n）
下面n行，每行n个整数，表示邻接矩阵。

输出描述

一个整数，表示结点m的度。

样例输入 1

5 3
0 1 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 0 1 1 0

样例输出 1

4

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n,m;cin>>n>>m;int g[11][11]={};for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>g[i][j];//无向图结点m的度，就是下标m这行，非0元素个数int d=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(g[m][i]!=0)d++;}cout<<d;return 0;
}

3154 有向图结点m的度

描述

给定有向图n*n的邻接矩阵，编程计算指定结点的出度，入度和度。

输入描述

第一行两个整数n和m，分别表示结点总数n，指定结点m。（4<=n<=10，1<=m<=n）
下面n行，每行n个整数，表示有向图的邻接矩阵。

输出描述

一行输出空格分隔的三个整数，分别表示结点m出度，入度和度。

样例输入 1

6 4
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0

样例输出 1

2 2 4

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n,m; //图有n个结点；计算结点m的度cin>>n>>m;//创建并输入邻接矩阵int g[11][11]={};for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>g[i][j];//第m行非0元素个数就是m的出度int c=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(g[m][i]!=0)c++;}//第m列非0元素个数就是m的入度int r=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(g[i][m]!=0)r++;}//度=出度+入度int d=c+r;cout<<c<<" "<<r<<" "<<d;return 0;
}