粒子滤波｜粒子滤波的相关算法理论介绍

        在自动控制、导航、目标跟踪等众多领域，系统状态估计是获取真实状态的关键环节。由于观测信号常受噪声干扰，滤波技术成为提取可靠信息的核心手段。本文将围绕目标跟踪技术中的滤波算法理论展开，重点解析粒子滤波框架的原理与应用。

一、动态系统模型：滤波算法的基础

        描述动态系统的模型主要有微分方程模型、传递函数模型和动态状态空间模型。其中，动态状态空间模型因适配实时处理、便于多输入多输出问题处理且更接近物理实现，成为最优估计理论的主要采用模型。

        该模型包含状态方程和观测方程：状态方程描述系统状态与输入的关系，体现系统自身特性；观测方程则描述系统状态与输出的关系，反映外界观测过程。在实际系统中，需引入系统噪声和测量噪声，构成完整的随机动态系统模型。

 二、卡尔曼滤波：线性系统的最优解

        1960 年，卡尔曼提出的卡尔曼滤波算法，将状态空间分析方法引入滤波理论，实现了时域上的递推滤波。它适用于线性高斯系统，在已知系统模型、噪声统计特性和初始状态的情况下，能实时获得最优估计值，具有线性、无偏、误差方差最小的特点。

        卡尔曼滤波通过预测和更新两个核心过程实现状态估计，核心公式包括预测状态、更新状态、增益矩阵、预测误差协方差和更新误差协方差的计算。其递推特性使其适合计算机处理，在工程中应用广泛，但初始状态的确定虽关键，稳定的滤波最终会收敛于理想状态，受初始值影响有限。

三、非线性系统的滤波方法

        实际系统多为非线性，直接处理难度大。扩展卡尔曼滤波（EKF）通过泰勒展开将非线性模型近似线性化，但精度有限；无味卡尔曼滤波（UKF）则通过近似概率密度分布而非函数本身，精度优于 EKF。此外，均差滤波器、中心差分滤波器等也能处理非线性问题，且无需计算雅可比矩阵。

四、贝叶斯滤波：概率推理的视角

        贝叶斯滤波将状态估计视为概率推理过程，通过预测和更新阶段求解后验概率密度。预测阶段利用系统模型得到先验概率密度，更新阶段结合最新测量值修正为后验概率密度。然而，对于非线性非高斯系统，积分计算困难，难以得到解析解。

五、粒子滤波：非线性非高斯系统的利器

        粒子滤波基于序贯蒙特卡洛方法（SMC），通过大量带权粒子模拟后验概率分布。其核心思想是利用重要性抽样产生粒子，根据观测值调整权重，经重采样筛选高权重粒子，最终通过粒子加权平均获得状态估计。

        标准粒子滤波流程包括：初始化生成带权初始粒子；重要性抽样从先验概率分布采样；更新并归一化权值；重采样获得新粒子集；预测下一时刻粒子。

        粒子退化是主要问题，即多数粒子权重趋近于零。解决方法包括优化重要性分布和重采样。常用重采样方法有多项式重采样、残差重采样和系统重采样，其中残差重采样在方差和实现复杂度上表现均衡。通过有效粒子数（Neff）可判断是否需要重采样，当 Neff 低于阈值时启动重采样，避免粒子贫化。

六、总结与展望

        粒子滤波在强非线性系统中估计精度优于传统算法，但实时性较差。文档提出将卡尔曼滤波嵌入粒子滤波以提高效率，为目标跟踪领域的算法优化提供了方向。未来，如何平衡精度与实时性，将是粒子滤波框架下目标跟踪算法的研究重点。

文献来源：

[1] 基于粒子滤波框架目标跟踪优化算法的研究_孟军英

[2] 考虑输入噪声的粒子滤波算法及其应用_段结敏