[ARC195E] Random Tree Distance

题目大意

一棵树上每个点的父亲 $fa[i]$，满足 $1<=fa[i]<i$。因此一棵 $n$ 个点的树有 $(n-1)!$ 种可能。

现在告诉你每个点连向父亲的边的边权 $W_i$。给你 $Q$ 对 $(u,v)$ 让你求出每一对 $(u,v)$ 在所有可能可能情况下的距离和。

思路

有一个比较常见的思路，就是把总和转换成期望值，然后把统计出来的期望值乘上情况的总数即可。

两个点的距离往往会这样写：$dist(u,v)=d[u]+d[v]-2\times d[lca(u,v)]$

那么有 $E(dist(u,v))=E(d[u])+E(d[v])-2\times E(d[lca(u,v)])$

我们发现每个点深度的期望值 $E(d[u])$ 可以计算出来，为 $E(d[i])=\frac{1}{n-1}{\sum }_{j=1}^{n-1}E(d[j])+W_i$ ，特别地，$E(d[0])=0$。

接下来我们我们要计算 $E(d[lca(u,v)])$，不妨设 $u<v$。

因为可能成为 $lca(u,v)$ 的点有 $1,2,3,...,u$，因此我们只需要计算出每个点成为 $lca(u,v)$ 的概率 $P_i$ 就有，$E(d[lca(u,v)])={\sum }_{i=1}^u{D}_i\times P_i$。

接下来就要去求出 $P_i$。

我在做这题的时候是先分析出了 $P_u=\frac{1}{u}$，然后打表直接得到对于 $1<=i<u$，有 $P_i=\frac{1}{i\times (i+1)}$。

现在来讲讲出现这个概率的原因。

1. $P_u=\frac{1}{u}$

考虑从 $v$ 一直往前跳，如果跳到一个 $i(u<i<j)$，那么不会有任何的影响；如果某一次跳到了 $i(i<=u)$，那么就有可能是 $u$，也有可能是 $u$ 前面的点，因为最后这一跳有 $u$ 个点可以选择，因此跳到 $u$ 的概率就是 $\frac{1}{u}$。

2. $P_i=\frac{1}{i\times (i+1)}(1<=i<u)$

令 $f_i(1<=i<=u)$，表示 $lca(u,v)>=i$ 的概率，那么显然有 $f_u=\frac{1}{u}$

考虑 $1<=i<u$，有两种可能的情况发生：第一种是已经满足 $lca(u,v)>=i$，第二种是不满足 $lca(u,v)>=i$ 但是两个路径最后一跳都刚好到达了 $i$，因此有 $f_i=f_{i+1}+(1-f_{i+1})(\frac{1}{i}{)}^2$

根据数学归纳即可得到 $f_i=\frac{1}{i}$，作差可得 $P_i=f_i-f_{i+1}=\frac{1}{i\times (i+1)}(1<=i<u)$

因为这个概率与 $v$ 的值无关，因此可以预处理出来。

代码