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三维旋转沿轴分解

将旋转分解为固定参考坐标系的绕轴n\bold{n}n的旋转和正交轴旋转:
R=R⊥R∥ \bold{R}= \bold{R}_{\perp} \bold{R}_{\parallel} R=RR
R∥=cos⁡θI+(1−cos⁡θ)nnT+sin⁡θn∧ \bold{R}_{\parallel}=\cos \theta \bold{I}+\left( 1-\cos \theta \right) \bold{n}\bold{n}^{T}+\sin \theta \bold{n}^{\wedge } R=cosθI+(1cosθ)nnT+sinθn
使用最小二乘法估计绕轴旋转,目标函数是使正交轴旋转的角度最小
min⁡θarccos⁡(tr(RR∥−1)−12) \min_{\theta}\arccos\left(\dfrac{\rm{tr}\left(\bold{RR}_{\parallel}^{-1}\right)-1}{2}\right) θminarccos2tr(RR1)1
上面的式子使用了旋转矩阵转欧拉角的公式
在这里插入图片描述
由于arccos⁡\arccosarccos函数单调递减,原问题变为

max⁡θtr(RR∥−1)=max⁡θtr(R(cos⁡θI+(1−cos⁡θ)nnT−sin⁡θn∧))=max⁡θ(cos⁡θtr(R−RnnT)−sin⁡θtr(Rn∧)) \begin{aligned} \max_{\theta} \rm{tr}\left(\bold{RR}_{\parallel}^{-1}\right) &=\max_{\theta}\rm{tr}\left(\bold{R}\left(\cos \theta \bold{I}+\left( 1-\cos \theta \right) \bold{n}\bold{n}^{T}-\sin \theta \bold{n}^{\wedge } \right)\right)\\ &=\max_{\theta}\left(\cos \theta \rm{tr}\left(\bold{R} - \bold{R}\bold{n}\bold{n}^{T}\right)-\sin\theta\rm{tr}\left(\bold{R}\bold{n}^{\wedge }\right)\right) \end{aligned} θmaxtr(RR1)=θmaxtr(R(cosθI+(1cosθ)nnTsinθn))=θmax(cosθtr(RRnnT)sinθtr(Rn))
θ\thetaθ求导得
−sin⁡θtr(R−RnnT)−cos⁡θtr(Rn∧)=0tan⁡θ=tr(Rn∧)tr(nTRn)−tr(R)θ=arctan⁡(tr(Rn∧)tr(nTRn)−tr(R)) \begin{aligned} -\sin\theta\rm{tr}\left(\bold{R} - \bold{R}\bold{n}\bold{n}^{T}\right)-\cos\theta\rm{tr}\left(\bold{R}\bold{n}^{\wedge }\right)&=0\\ \tan\theta&=\dfrac{\rm{tr}\left(\bold{R}\bold{n}^{\wedge }\right)}{\rm{tr}\left(\bold{n}^{T}\bold{R}\bold{n}\right)-\rm{tr}\left(\bold{R}\right) }\\ \theta&=\arctan\left(\dfrac{\rm{tr}\left(\bold{R}\bold{n}^{\wedge }\right)}{\rm{tr}\left(\bold{n}^{T}\bold{R}\bold{n}\right)-\rm{tr}\left(\bold{R}\right) }\right) \end{aligned} sinθtr(RRnnT)cosθtr(Rn)tanθθ=0=tr(nTRn)tr(R)tr(Rn)=arctan(tr(nTRn)tr(R)tr(Rn))

http://www.dtcms.com/a/273327.html

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