《信号与系统》学习笔记——第八章

目录

系统的状态变量分析

1.引言

2.连续时间系统状态方程的建立

1.连续时间系统状态方程的普遍形式

2.由电路图建立状态方程

3.由微分方程建立状态方程

4.由系统模拟框图建立状态方程

3.连续时间系统状态方程的求解

1.连续时间 LTI 系统状态方程的时域求解

2. 连续时间系统状态方程的 s 域求解

4.离散时间系统状态方程的建立

1.离散时间系统状态方程的一般形式

2.由差分方程建立状态方程

3.由系统框图或系统函数建立状态方程

5. 离散时间系统状态方程的求解

1. 离散时间 LTI 系统的状态方程的时域求解

2.离散时间系统状态方程的 z 域求解

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系统的状态变量分析

1.引言

在状态变量分析法中，需选择一组描述系统内部状态的变量 q1(t),q2(t),…,qn(t) ，不仅要求这组变量的个数为最少，而且可由这组变量和系统输入表示系统所有的状态和输出，这组变量 q1(t),q2(t),…,qn(t) 就称为系统的状态变量。由此可见，状态变量描述是一种系统内部描述的方法。

系统的状态变量描述一般分为两部分：

(1) 描述系统状态变量与系统输入关系的状态方程；

(2) 描述系统输出变量与系统状态变量及系统输入关系的输出方程。

系统状态变量分析的过程是先建立描述系统的状态方程和输出方程，再通过求解系统的状态方程获得系统状态变化规律，然后利用输出方程得到系统的输出响应。

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输入输出方法通过微分方程描述连续系统的输入输出约束关系，或通过差分方程描述离散系统的输入输出约束关系，一般适用于单输入单输出 (single input single output, SISO) 系统，其只关注系统的输入和输出。状态变量分析方法的主要优点在于它不仅能够描述系统的内部规律，而且还能有效地描述多输入多输出 (multi-input multi-output, MIMO) 系统。由于状态方程都是由一阶的微分方程或差分方程组成，非常适合计算机进行数值计算。另外，时变和非线性系统也可用状态变量分析方法进行描述。

2.连续时间系统状态方程的建立

1.连续时间系统状态方程的普遍形式

对于 m 个输入 x1(t),x2(t),…,xm(t) ，p 个输出 y1(t),y2(t),…,yp(t) 以及 n 个状态变量 q1(t),q2(t),…,qn(t) 的连续时间 LTI 系统，如图所示，其状态方程的一般形式为

式 (8-4) 称为系统的状态方程。

其中

由于是线性非时变系统，系数 {aki} 与 {bkl} 都是与时间无关的常数。

系统状态方程也可以用矩阵形式表示为

即 

q(t) 称为系统的状态矢量，x(t) 称为输入矢量。

系统的输出方程可表示为

对于线性非时变系统，系数 {ckl} 与 {dkl} 都是与时间无关的常数。

输出方程的矩阵形式为

即 

y(t) 称为系统输出矢量。下面将具体讨论如何根据给定的系统建立系统的状态方程和输出方程。

2.由电路图建立状态方程

在已知电路结构和输入的前提下，在建立电路系统的状态方程时，首先要根据电路确定系统的状态变量的个数，电路系统状态变量的数目等于系统中独立动态元件数，然后建立系统的状态方程。一般地说，由电路直接建立状态方程的步骤如下：

1. 一般选择独立电感电流和独立电容电压作为状态变量；

2. 围绕电感电流的导数列写回路电压方程；

3. 围绕电容电压的导数列写节点电流方程；

4. 整理步骤 (2) 和 (3)，即可得到状态方程；

5. 求解输出与状态变量和输入的关系，得到输出方程。

eg：

写出图所示电路的状态方程和输出方程

(1) 电路中有一个电容和一个电感，所以该二阶电路系统需要两个状态变量。选择电容电压 vc(t) 和电感电流 iL(t) 作为系统的状态变量，即 

(2) 列写节点电流方程 

(3) 列写回路电压方程 

(4) 整理可得系统的状态方程为 

系统的输出方程为 

系统状态方程的矩阵形式为 

系统输出方程的矩阵形式为 

3.由微分方程建立状态方程

如果已知描述连续系统的微分方程，则可以直接从微分方程得出系统的状态方程。下面举例说明。

eg：

已知某描述连续时间 LTI 系统的微分方程

试写出其状态方程和输出方程

对于 n 阶微分方程，其状态变量的数目为 n 。

一般选取 y(t) ，y′(t) 和 y′′(t) 作为系统的状态变量，即

根据微分方程和系统状态变量的选取，可得系统的状态方程为 

系统的输出方程为 

系统状态方程的矩阵形式为 

系统输出方程的矩阵形式为 

4.由系统模拟框图建立状态方程

由模拟框图直接建立状态方程是一种比较直观而简单的方法，其一般规则是：

1. 选取积分器的输出端作为系统状态变量；

2. 围绕积分器的输入端列写系统状态方程；

3. 围绕连续系统输出端列写系统输出方程。

当系统函数确定后，其对应的模拟框图并不唯一。模拟框图一般有直接型、级联型和并联型。不同结构的模拟框图，得到的状态方程和输出方程不同，但状态变量的数目相同。下面通过一个例子来说明此问题。

eg：

已知某因果 LTI 系统的系统函数 H(s) 为

试画出其直接型、级联型和并联型的模拟框图，并写出相应的状态方程。

(1) 直接型

将 H(s) 改写为

则由上式可画出如图所示的直接型模拟框图。 

选三个积分器输出端为系统的状态变量 q1(t) ，q2(t) 和 q3(t) ，则有 

系统的输出方程为 

状态方程的矩阵形式为 

输出方程的矩阵形式为 

(2) 级联型

将 H(s) 表示为多个因式相乘的形式，即

由上式可得级联型模拟框图如图 所示。 

选三个积分器的输出端为系统状态变量 q1(t) ，q2(t) 和 q3(t) ，则有（所有＋号左右两边相加即可，注意方向，＋右边下边为负，左边为正） 

系统的输出方程为 

状态方程的矩阵形式为 

(3) 并联型

对 H(s) 进行部分分式展开，可得

并联型模拟框图如图所示。 

选三个积分器的输出为系统状态变量 q1(t) ，q2(t) 和 q3(t) ，则有

系统的输出方程为 

系统状态方程的矩阵形式为 

对于并联型结构的状态方程，其 A 矩阵是一对角矩阵。

系统输出方程的矩阵形式为

由此可见，系统的状态变量和状态方程不是唯一的。对同一个系统，可以用多种形式的状态方程来描述。虽然这些状态方程形式不同，但它们所描述的输入和输出关系是等价的。

推广到一般情况，对于 n 阶因果连续 LTI 系统，其系统函数为

其中 n>m 。由式 (8-10)，图分别画出了系统直接型和并联型的模拟框图

选择 n 个积分器的输出作为状态变量 q1(t) ，q2(t) ，…，qn(t) ，则由图(a) 

系统的输出方程为 

矩阵形式的状态方程和输出方程分别为 

由图(b)，系统的状态方程可写为 

系统的输出方程为 

矩阵形式的状态方程和输出方程分别为 

3.连续时间系统状态方程的求解

1.连续时间 LTI 系统状态方程的时域求解

连续 LTI 系统状态方程的一般形式为

状态方程的初始状态为 

为求解状态方程中的状态变量，定义矩阵指数 eAt 为 

其中 I 是 n×n 的单位矩阵。由定义式 (8-20) 可知，矩阵指数 eAt 是一个 n×n 矩阵函数。由矩阵指数 eAt 的定义式 (8-20)，易证：对任意实数 t 和 τ 

取 τ=−t ，则由式 (8-21) 

式 (8-22) 表明矩阵 eAt 是可逆的，eAt 的逆阵为 e−At 。矩阵函数的求导定义为对矩阵函数中的每一个元素求导，由式 (8-20) 可得矩阵指数 eAt 的导数为 

即 

由矩阵函数的求导公式 

可得 

将式 (8-19) 两边同乘 e−At ，并移项得 

比较式 (8-25) 和式 (8-26) 得 

对上式两边从 0− 到 t 积分，得 

再将上式两边同乘以矩阵指数 eAt ，并利用式 (8-22)，即可求得状态方程的一般解为 

由式 (8-28) 即可求解出系统的状态变量，根据系统的状态变量和系统的输入，由输出方程即可得到系统的输出响应。同时，也可由系统的状态变量分析系统的内部状态及其特性。

矩阵卷积的定义和矩阵乘法的定义类似，只需将矩阵乘法中两个元素相乘的符号用卷积符号替换即可。例如两个 2×2 矩阵的卷积可写为

定义状态转移矩阵 (state transition matrix) ϕ(t) 为 

利用上述定义，可将式 (8-28) 表示为 

将上述结果代入输出方程得 

定义 m×m 的对角阵 δ(t) ，即 

由 δ(t) 的定义可得 

故系统输出方程可写为 

当 q(0−)=0 ，由上式可知系统的零状态响应为 

其中 

式 (8-32) 中 p×m 的矩阵 h(t) 称为系统的单位冲激矩阵。当系统的第 k 个输入 xk(t)=δ(t) ，其他输入为零时，由式 (8-31) 系统的第 l 个输出 yl(t) 为 

hlk(t) 是矩阵 h(t) 中第 l 行第 k 列元素

2. 连续时间系统状态方程的 s 域求解

连续 LTI 系统矩阵形式的状态方程为

对上式进行单边 Laplace 变换可得 

经整理得 

其中 I 是 n×n 的单位阵。如 sI−A 可逆，则有 

其中 

由式 (8-34) 可得 

对式 (8-36) 进行 Laplace 反变换得 

由式 (8-37) 即可得到系统的状态矢量。

比较式 (8-29) 和式 (8-37) 可得

连续 LTI 系统输出方程的一般形式为 

对输出方程进行单边 Laplace 变换可得 

将式 (8-36) 带入式 (8-40) 可得 

由上式可知系统的零输入响应的 Laplace 变换为 

系统的零状态响应的 Laplace 变换为 

所以系统函数矩阵 H(s) 为 

H(s) 是 p×m 的矩阵。矩阵 H(s) 第 l 行第 k 列元素 Hlk(s) 确定了系统第 k 个输入对第 l 个输出的贡献。

eg：

已知某因果连续 LTI 系统的状态方程和输出方程分别为

其初始状态和输入分别为 

求该系统的状态变量和输出

根据已知条件，由式 (8-35) 可得

附:逆矩阵求解公式： 

调换 a 和 d 的位置，把 负号放在 b 和 c 前面，然后除以矩阵的行列式（ad-bc）

对 x(t) 进行单边 Laplace 变换，可得

将式 (8-45) 和式 (8-46) 代入式 (8-36) 得 

由输出方程及上式可得 

对以上两式进行 Laplace 反变换，最后求得该系统的状态变量与输出响应分别为

4.离散时间系统状态方程的建立

1.离散时间系统状态方程的一般形式

离散时间系统状态方程具有与连续时间系统状态方程相似的形式。对于一个有 m 个输入 x1[k] ，x2[k] ，…，xm[k] ，p 个输出 y1[k] ，y2[k] ，…，yp[k] 以及 n 个状态变量 q1[k] ，q2[k] ，…，qn[k] 的离散时间 LTI 系统，如图所示，其状态方程和输出方程的矩阵形式可写成

其中 

q[k] 为状态矢量，x[k] 为输入矢量，y[k] 为输出矢量。

2.由差分方程建立状态方程

若已知描述离散系统的差分方程，可直接将系统的差分方程转换为状态方程。

Eg:

已知因果离散时间 LTI 系统的二阶差分方程为

试写出其状态方程和输出方程。

对于二阶差分方程，选 y[k] 和 y[k+1] 为系统的状态变量，即

则由差分方程可得系统的状态方程为 

系统的输出方程为 

系统状态方程的矩阵形式为

系统输出方程的矩阵形式为 

3.由系统框图或系统函数建立状态方程

由离散系统的框图建立状态方程的一般规则是：

(1) 选取延时器的输出端作为状态变量；

(2) 围绕延时器的输入端列写状态方程；

(3) 围绕离散系统的输出列写输出方程。

Eg:

已知某四阶因果离散系统的直接型模拟框图如图所示，试建立其状态方程和输出方程。

选择延时器的输出端作为系统的状态变量，从右到左分别取为 q1[k] ，q2[k] ，q3[k] 和 q4[k] ，如图所示。根据各延时器的输入端，可写出状态方程为 

由系统的输出端列写输出方程 

系统状态方程的矩阵形式为 

系统输出方程的矩阵形式为 

与连续系统建立状态方程的方法相类似，若已知离散系统的系统函数 H(z) ，可先由 H(z) 画出系统的框图，再根据模拟框图建立系统的状态方程。

5. 离散时间系统状态方程的求解

1. 离散时间 LTI 系统的状态方程的时域求解

离散 LTI 系统的状态方程为

上式为一阶差分方程组，在给定系统的初始状态 q[k0] 后，可直接用迭代法进行求解。这类运算非常适合计算机进行数值计算，这也正是利用状态方程描述系统的优点之一。由式 (8-49) 有 

若初始时刻 k0=0 ，则有 

 将上式代入系统的输出方程得

定义 m×m 的对角矩阵 δ[k] ，即 

则有 

当 q[0]=0 ，由式 (8-52) 可得系统的零状态响应为 

其中 

称 h[k] 为系统的单位脉冲响应矩阵。

2.离散时间系统状态方程的 z 域求解

离散 LTI 系统矩阵形式的状态方程为

对上式两边进行单边 z 变换可得 

经整理得 

其中 I 是 n×n 的单位矩阵。如 (zI−A) 可逆，则有 

对式 (8-56) 进行 z 反变换，即可得到离散 LTI 系统的状态变量 

离散 LTI 系统输出方程的一般形式为 

对输出方程进行单边 z 变换可得 

将式 (8-56) 带入上式得 

由上式可知系统的零输入响应的 z 变换为 

系统的零状态响应的 z 变换为 

系统函数矩阵 H(z) 为 

H(z) 是 p×m 的矩阵。矩阵 H(z) 第 l 行第 k 列元素 Hlk(z) 确定了系统第 k 个输入对第 l 个输出的贡献。

Eg:

已知某因果离散时间 LTI 系统的状态方程为

输出方程为 

系统的初始状态及输入分别为 

试求解该系统的零状态响应、零输入响应和完全响应

因为 D=0 ，由式 (8-60) 可得

由部分分式展开得 

所以系统的零状态响应为 

由式 (8-59) 可得系统零输入响应的 z 变换为 

所以系统的零输入响应为 

系统的完全响应为